Собственные числа и собственные векторы матрицы

Приведем основные определения и теоремы, необходимые для решения практических задач вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц.

Определение 3.8. Собственным числом (или собственным значением) квадратной матрицы А называется число λ, такое, что система уравнений

Ах = λх (3.35)

имеет ненулевое решение х. Это решение называется собственным вектором матрицы А,соответствующим собственному значению λ.

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, если худовлетворяет (3.35), то и схтакже является решением (3.35).

Преобразуем систему (3.35) к виду (А - λЕ) х = 0, где Е – единичная матрица. Так как система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения лишь тогда, когда определитель матрицы равен нулю, получим уравнение для определения собственных значений

det(A – λE) = 0, (3.36)

которое называется характеристическим,или вековым, уравнением.

Если раскрыть определитель, то получим в левой части (3.36) многочлен n-й степени, корнями которого являются собственные значения матрицы А. На практике, при больших порядках п матрицы, задача раскрытия определителя (3.36) является сложной. Как известно из алгебры, многочлен n-й степени имеет п корней (действительных или комплексных), если кратные корни учитывать столько раз, какова их кратность.

Вычислить собственные значения матрицы в общем случае труднее, чем найти при известных собственных значениях соответствующие собственные векторы. В некоторых частных случаях собственные значения вычисляются легко. Например, если матрица диагональная или треугольная, определитель равен произведению диагональных элементов и поэтому собственные значения равны диагональным элементам. Нетрудно вычислить собственные значения для трехдиагональной матрицы, а также для почти треугольной матрицы.

Для диагональной матрицы собственному значению λ_i = a_ii отвечает единичный собственный вектор хⁱ = (0, ... , 1, ... ,0)^T, у которого i-якомпонента равна 1, а остальные компоненты 0.

Теорема 3.5. Собственные значения симметричной матрицы с действительными элементами действительны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Теорема 3.6.Если λ_min и λ_m_ах – наименьшее и наибольшее собственные значения действительной симметричной матрицы А, то для любого вектора хсправедливо неравенство

λ_min(x, х)£(Ах, х)£ λ_max(х, х).(3.37)

Определение 3.9.Действительная симметричная матрица А называется положительно определенной, если для любого вектора х¹0 выполняется условие

(Ах, х)> 0.(3.38)

Теорема 3.7.Действительная симметричная матрица А является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны.

Теорема 3.8(критерий Сильвестра).Для того чтобы действительная симметричная матрица А = (а_ij) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры ее определителя были положительны:

(3.39)

Теорема 3.9(теорема Перрона).Если все элементы квадратной матрицы положительны, то ее наибольшее по модулю собственное значение положительно и не является кратным, а соответствующий собственный вектор имеет положительные координаты.

Рассмотрим итерационный методопределения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы А,который запишем в виде следующего алгоритма.

Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами:

1) зададим начальное приближение х⁰к собственному вектору; k = 0;

2) вычислим следующие приближения х^k⁺¹ по формулам

^k⁺¹ = Ax^k, , x^k⁺¹ = , k = k+1; (3.40)

3) если |λ_k₊₁ - λ_k| ³ ε,переходим к п. 2, иначе – к п. 4;

4) конец.

Критерием для остановки итераций является условие |λ_k₊₁ - λ_k| < ε – заданная погрешность.

С помощью формулы (3.40) можно вычислить сначала k-юстепень матрицы А и умножить ее на вектор х⁰(см. пример 10), а для λ_k можно брать отношение ненулевой координаты вектора х^k⁺¹ к соответствующей координате

вектора х^k, которая также не должна быть равной нулю. Так как заранее неизвестно, какие координаты собственного вектора не равны нулю, можно брать отношение сумм координат, если эта сумма не равна нулю.