Метод Ньютона

Метод итераций

Графический метод.

Системы нелинейных уравнений

Система п нелинейных уравнений с п неизвестными Имеет вид

f_k(x₁, х₂, ... , х_п) = 0,1 ≤ k ≤ n. (2.8)

Систему двух нелинейных уравнений можно решить приближенно

(2.9)

графическим способом. Для этого достаточно преобразовать систему к виду

(2.10)

При использовании электронных таблиц или математических пакетов решение можно уточнить графически, сужая отрезок [a, b] около корня x_s.

Для уточнения решения (x_s, y_s)можно также приме­нить метод итераций или Ньютона.

Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций:

x_k = φ_k(x₁, x₂,..., x_n), 1 ≤ k ≤ n (2.11)

Выберем начальное приближение к корню (), последующие приближения вычислим по формулам

,

s = 0, 1, 2, … (2.12)

Приведем без доказательства достаточные условия сходимости метода итераций. Обозначим точное решение системы (2.8) .

Определение 2.3. Назовем ε-окрестностью точки множество точек х = (х₁, х₂, ... , х_п),удовлетворяющих условиям

.

Теорема 2.5. Пусть в некоторой ε-окрестности точного решения частные производные существуют и удовлетворяют одному из трех неравенств

(2.13)

где (максимум берется по всем точкам ε-окрестности).

Если начальное приближение х⁰ = () принадлежит ε-окрестности точного решения, то метод простой итерации (2.12) сходится к точному решению.

Строгие формулировки теорем об условиях сходимос­ти метода Ньютона достаточно громоздки, на практике часто ограничиваются следующим рассуждением.

Пусть для системы нелинейных уравнений

f_k(х_1, х₂, ... , х_n) = 0, 1 ≤ k ≤ п,

в некоторой ε-окрестности точного решения не равен пулю определитель матрицы частных производных (мат­рицы Якоби):

Тогда существует начальное приближение х⁰ =(), принадлежащее ε-окрестности точ­ного решения (достаточно близкое к точному решению), что метод Ньютона сходится к точному решению.

, (2.14)

k = 0,1, ...

Для системы двух уравнений метод Ньютона (2.14) имеет вид:

(2.15)

k = 0, 1, ...