Очевидно что, эта теорема ставит, довольно, жесткие условия, которые необходимо проверить перед применением метода итераций. Если производная функции φ(x) по модулю больше единицы, то процесс итераций расходится (рис. 3).
y = φ(x) y = x
Рис. 3. Расходящийся процесс итераций
В качестве условия сходимости итерационных методов чисто используется неравенство
|xk - xk-1| ≤ ε. (2.5)
Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)) рис. 4). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.
Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:
Þ
Алгоритм метода хорд:
1) пусть k = 0;
2) вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.
Найдем очередное k-e приближение по формуле:
xk= a - f(a)(b - a)/(f(b) - f(a)).
Вычислим f(xk);
3) если f(xk)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.
Если f(xk) ×f(b)>0, то b = xk, иначе a = xk;
4) если |xk – xk-1| > ε, то переходим к п. 2;
5) выводим значение корня xk;
6) конец.
Замечание. Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 4, а) или вогнутый вниз (рис. 4, б).Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.
Рис. 4. Метод хорд
4. Метод Ньютона (касательных)
Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f(x)= 0, и обозначим его хп.Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения xn+1 может быть получена двумя способами.
Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции у = f(x)с осью Оx ищем точку пересечения с осью Оx касательной, проведенной к графику функции в точке (xn, f(xn)),как показано на рис. 5. уравнение касательной имеет вид у - f(xn)= f '(xn)(x - xn).
Рис. 5. Метод Ньютона (касательных)
В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:
(2.6)
Второй способ: разложим функцию f(x)в ряд Тейлора в окрестности точки х = хn:
Ограничимся линейными слагаемыми относительно (х - хп),приравняем к нулю f(x) и, выразив из полученного уравнения неизвестное х,обозначив его через хn+1получим формулу (2.6).
Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.
Теорема 2.4. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:
1) функция f(x)и ее производные f '(х)и f ''(x)непрерывны;
2) производные f '(x)и f ''(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;
3) f(a)× f(b) < 0 (функция f(x)меняет знак на отрезке). Тогда существует отрезок [α, β], содержащий искомый корень уравнения f(x) = 0, на котором итерационная последовательность (2.6) сходится. Если в качестве нулевого приближения х0выбрать ту граничную точку [α, β], в которой знак функции совпадает со знаком второй производной,
т.е. f(x0)× f"(x0)>0, то итерационная последовательность сходится монотонно
Замечание. Отметим, что метод хорд как раз идет с противоположной стороны, и оба этих метода могут друг друга дополнять. Возможен и комбинированный метод хорд-касательных.
5. Метод секущих
Метод секущих может быть получен из метода Ньютона при замене производной приближенным выражением – разностной формулой:
, ,
. (2.7)
В формуле (2.7) используются два предыдущих приближения хпи xn-1.Поэтому при заданном начальном приближении х0необходимо вычислить следующее приближение x1, например, методом Ньютона с приближенной заменой производной по формуле
,
Алгоритм метода секущих:
1) заданы начальное значение х0и погрешность ε. Вычислим
;
2) для п = 1, 2, ... пока выполняется условие |xn – xn-1| > ε, вычисляем хп+1 по формуле (2.7).
, он является корнем уравнения f(x) = 0, т. е. f(ξ) =0.
xk = ξ, то ξ= φ(ξ);
Þ 
(2.6)
, 
,
. (2.7)
, 
;