Нормы векторов и матриц

Вычислительные методы линейной алгебры

Раздел № 3

Вычислительные методы линейной алгебры включают в себя решение следующих задач:

1) Решение систем линейных алгебраических уравне­ний (СЛАУ).

2) Вычисление определителей квадратной матрицы А.

3) Для данной квадратной матрицы А вычисление обрат­ной А^-1.

4) Определение собственных значений и собственных векторов квадратной матрицы А.

При решении многих прикладных задач весьма полезным являются понятия нормы векторов и нормы матриц.

Определение 3.1. Нормой вектора называется неотрицательное число, которое обозначается символом |||| и удовлетворяет следующим условиям:

1) |||| > 0 при ¹и |||| = 0;

2) |||| = | c |×|||| при любом числовом множителе;

3. |||| ≤ |||| + ||||. Это соотношение называют неравенством треугольника.

Норму вектора можно ввести различными способами. Наиболее часто для векторов n-мерного арифметического пространства

= (x₁, x₂, ..., x_n)^T используются следующие нормы:

1) ||||₁ = , i = 1, 2, ..., n (3.1)

(называется кубической);

2) ||||₂ = (3.2)

(называется октаэдрической);

3) ||||₃ = = (3.3)

(называется сферической, порождена скалярным произведением и определяет длину вектора ).

Норма (3.3) порождена скалярным произведением которое выражается формулой: .

Для скалярного произведения векторов справедливы соотношения:

= = .

Если A симметричная матрица, то =.

Определение 3.2. Если в пространстве векторов введена норма ||||, то согласованной с ней нормой в пространстве матриц называют норму

. (3.4)

Согласованные с нормами векторов (3.1)-(3.3) нормы матриц определяются формулами

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

В формуле (3.7) – собственные значения матрицы A^TA, которая является симметрической.

Формула (3.7) следует из того, что для симметрической матрицы B можно доказать справедливость соотношения:

= , (3.8)

где l_i – собственные значения матрицы B.

Определение 3.3. Две нормы ||||_α и ||||_β называются эквивалентными, если существуют такие постоянные γ₁ и γ₂, что для всех векторов справедливы соотношения:

, и .

Нормы ||||₁, ||||₂ и ||||₃ эквивалентны между собой, так как выполнятся неравенства

||||₁ ≤ ||||₃ ≤ ||||₂ ≤ n×||||₁.

Определение 3.4. Будем говорить, что последовательность векторов сходится к вектору по данной норме ||||, если выполняется соотношение = 0.

Из эквивалентности норм ||||₁, ||||₂ и ||||₃ следует, что если последовательность векторов сходится по одной из этих норм, то она сходится и по остальным нормам.

Договоримся в дальнейшем под нормой |||| подразумевать одну из указанных выше норм, а при необходимости конкретизировать, какую именно.

При этом под нормой матрицы будем понимать норму, согласованную с нормой матрицы.

3.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Теоретические условия существования и единственно­сти решения систем линейных уравнений известны – главный определитель не должен быть равен нулю. Тог­да решение можно найти по правилу Крамера, или мето­дом исключения неизвестныхГаусса. Метод Гаусса и правило Крамера относятся к прямым методам решения систем линейных алгебраических уравнений. Они позво­ляют за конечное число действий получить точное реше­ние системы, при условии, что все действия выполняют­ся точно, без округления. Но на практике, при больших порядках системы, правило Крамера требует слишком много времени для вычисления определителей. Если оп­ределители вычислять формально по определению как сумму п!слагаемых, то число операций имеет порядок п!п.Правило Крамера используется чаще для теоретичес­ких исследований, а на практике почти не применяется.

Метод исключения неизвестных Гаусса для решения систем линейных уравнений более эффективен, чем пра­вило Крамера. Более того, он также эффективен при вы­числении определителя и обратной матрицы.

При большом числе неизвестных иногда оказывается, что выгоднее решать систему уравнений методом итера­ций, который дает приближенное решение системы.