Метод половинного деления

Графический метод

Для отделения корней уравнения естественно приме­нять графический метод. График функции у = f (х) с уче­том свойств функции дает много информации для опре­деления числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлага­лось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появле­нием математических пакетов и электронных таблиц ста­ло возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

1) если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);

2) повторим действия предыдущего пункта для полу­ченного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

2.2. Методы уточнения корней

Метод половинного деления (метод бисекций, метод дихотомии) для решения уравнения f(x) = 0 заключает­ся в следующем.

Пусть известно, что функция непрерыв­на и принимает на концах отрезка [а, b] значения разных знаков, тогда корень содержится в интервале (а, b). Раз­делим интервал на две половины и дальше будем рассмат­ривать ту половину, на концах которой функция прини­мает значения разных знаков (рис. 1). Этот новый отрезок [x₁, b] снова делим на два равных отрезка и выби­раем из них тот, который содержит корень (отрезок [х₁ х₂] на рис. 1). Этот процесс продолжается до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше тре­буемой величины погрешности. На рис. 1 середина от­резка

[х₁, х₂] совпадает с точкой пересечения графика с осью абсцисс, т. е. точка х₃ «попадает» в корень уравне­ния, и в этом случае процесс деления заканчивается.

Рис. 1. Метод половинного деления

Более строгое изложение алгоритма метода половинного деления:

1) вычислим х = (a + b)/2; f(x);

2) если f(x) = 0, переходим к п. 5;

3) если f(x) × f(a) < 0, то b = х, иначе, а = х;

4) если |b - а| > ε, переходим к п. 1;

5) выводим значение х;

6) конец.