Аналитический метод

Методы локализации корней

Алгебраические и трансцендентные уравнения

Раздел № 2

Погрешность произвольной функции

Пусть задана произвольная функция и = f(x_l, x₂,..., х_n), где x_l, х₂,…, х_п – приближенные величины, а , ,…,– их известные предельные абсолютные погрешности. Тогда предельная абсолютная погрешность результата – функции и – для малых , вычисляется по формуле

(1.17)

Как видно из формулы (1.17), для ее применения тре­буется, чтобы функция f(x_l, x₂,..., х_n)была дифферен­цируемой по всем переменным.

Рассмотрим уравнение f(x) = 0, где функция f(x) оп­ределена и непрерывна в некотором конечном или беско­нечном интервале а < х < b.

Определение 2.1. Корнем уравнения f(x) = 0 называет­ся значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. та­кое, что f(ξ) = 0.

Определение 2.2. Уравнение f(x) = 0 называется алгеб­раическим, если функция f(x) является многочленом f(x) = Р_n(х) = а_пх^п + а_п-1х^n-1 + ... + а₁х + а₀, в противном случае уравнение f(x) = 0 называется трансцендентным.

Встречающиеся на практике уравнения часто не уда­ется решить аналитическими методами. Для решения таких уравнений используются численные методы.

Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью численного метода состоит из двух этапов:

1) отделение или локализация корня, т. е. установле­ние промежутка [а, b], в котором содержится один ко­рень;

2) уточнение значения корня методом последователь­ных приближений.

Теоретической основой алгоритма отделения корней служит теорема

Коши о промежуточных значениях не­прерывной функции.

Теорема 2.1. Если функция f(x) непрерывна на отрез­ке [a, b] u f(a) = A, f(b) = В, то для любой точки С, лежа­щей между А и В, существует точка c Î [а, b], что f(c) = C.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных зна­ков, то на этом отрезке существует, хотя бы один ко­рень уравнения f(x) = 0.

Пусть область определения и непрерывности функции является конечным отрезком [a,b]. Разделим отрезок на n частей:

a_k = а + kh, k = 0, 1, ... п, h = (b - а)/п.

Вычисляя последовательно значения функции в точ­ках а₀, а₁, ..., а_п, находим такие отрезки [a_k, a_{k + 1}], для которых выполняется условие

f(a_k)×f(a_{k + 1}) < 0, (2.1)

т. е. f(a_k) < 0, f(a_{k + 1}) > 0 или f(a_k) > 0, f(a_{k + 1}) < 0. Эти отрезки и содержат хотя бы по одному корню.

Теорема 2.2. Если непрерывная функция f(x) монотон­на на отрезке [а, b] на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует един­ственный корень уравнения f(x) = 0.

Если функция f(х) дифференцируема и ее производная сохраняет знак на отрезке [а, b], то f(х) монотонна на этом отрезке.

Если производная f '(х) легко вычисляется и нетрудно определить ее корни, то для отделения корней уравнения f(х) = 0 можно применить следующий алгоритм:

1) найти критические точки, в которых производная f '(х) равна нулю или не существует, и определить ин­тервалы знакопостоянства производной f '(х) (на этих интер­валах функция f (х) может иметь только по одному корню);

2) составить таблицу знаков функции f (х), приравни­вая переменную х к критическим и граничным значени­ям, или близким к ним;

3) определить отрезки, на концах которых функция принимает значения разных знаков.