Правило округления чисел

Значащие цифры

Определение 1.6. Значащими цифрами в записи при­ближенного числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Определение 1.7. Первые п значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит половины единицы разряда, соответствующего п-йзначащей цифре, считая слева направо.

Наряду с данным определением иногда используется другое.

Определение 1.8. Первые п значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосхо­дит единицы разряда, соответствующего n-йзначащей цифре.

Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасы­вают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то остав­шиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к пос­ледней оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди ос­тальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к после­дней оставшейся цифре прибавляют единицу;

4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все от­брошенные цифры являются нулями, то последняя остав­шаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если нет (правило четной цифры).

Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить ком­пенсацию знаков ошибок.

Следующая теорема выявляет связь относительной по­грешности числа с числом верных десятичных знаков.

Теорема 1.1. Если положительное приближенное чис­ло имеет п верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10^{1 - n}, деленной на первую значащую цифру а_н:

δ ≤ 10^{1 - n} / а_н. (1.11)

Формула (11) позволяет вычислить предельную от­носительную погрешность

δ_a = 10^{1 - n} / а_н. (1.12)

1.6. Погрешности арифметических операций

Приведем правила вычисления погрешности результа­та различных арифметических операций над приближен­ными числами.

Относительно алгебраической суммы u = х ± у можно утверждать следующее.

Теорема 1.2. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т. е.

Δ_u = Δ_x + Δ_y. (1.13)

Из формулы (1.13) следует, что предельная абсолют­ная погрешность суммы не может быть меньше предель­ной абсолютной погрешности наименее точного из сла­гаемых, т. е. если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла.

Теорема 1.3. Если все слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относи­тельных погрешностей слагаемых:

δ_u ≤ . (1.14)

При вычислении разности двух приближенных чисел и = х - у её абсолютная погрешность, согласно теоре­ме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьша­емого и вычитаемого, т. е. Δ_u = Δ_x + Δ_y, а предельная относительная погрешность

δ_u = .(1.15)

Из формулы (1.15) следует, что если приближенные значения х и у близки, то предельная относительная по­грешность будет очень большой.

В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выра­жения так, чтобы разность была исключена.

Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании долж­но пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить п верных цифр, тогда в уменьшае­мом и вычитаемом следует сохранять m + п верных зна­чащих цифр.

Теорема 1.4. Предельная относительная погрешность произведения и = х× у приближенных чисел, отличных от пуля, равна сумме предельных относительных погрешно­стей сомножителей, т. е.

δ_u = δ_x + δ_y. (1.16)

В частности, если и = kx, где k – точное число, имеем Δ_u = |k|Δ_x, δ_и = δ_х.

Теорема 1.5. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных по­грешностей делимого и делителя.