Метод взвешивания

Метод взвешивания заключается в следующем. Желаемую передаточную функцию, задаваемую в качестве исходных данных на конечном отрезке оси частот (), периодически продолжают на всю частотную ось (-¥ - +¥) и представляют рядом Фурье:

(4)

- коэффициенты ряда, - гармонические составляющие ряда. Коэффициенты ряда Фурье равны:

Сравнивая выражение усеченного ряда Фурье желаемой передаточной функции, включающего только N гармоник, и полученное ранее выражение передаточной функции произвольного КИХ-фильтра (3):

(6)

(7)

можно заметить между ними явное сходство. Следовательно, необходимо выбрать коэффициенты КИХ-фильтра S_n таким образом, чтобы передаточная функция КИХ-фильтра совпадает с усеченным рядом Фурье.

Предположим, что длина импульсной переходной функции L нечетное число:

Тогда передаточную функцию КИХ-фильтра можно записать в следующем виде:

Теперь очевидно, что для получения требуемого равенства с точностью до фазового множителя (запаздывания) , необходимо выполнить следующее условие:

или

Принимая во внимание формулу коэффициентов Фурье (5) и формулу для длины импульсной реакции КИХ-фильтра (8), получим окончательное выражение для расчета коэффициентов:

(9)

КИХ-фильтр с рассчитанными таким образом параметрами будет иметь передаточную функцию, равную усеченному ряду Фурье желаемой передаточной функции, и, кроме того, иметь запаздывание:

Чем больше членов ряда Фурье мы сохраним, тем точнее передаточная функция синтезированного КИХ-фильтра будет соответствовать желаемой. Однако увеличение длины импульсной реакции L приводит к увеличению запаздывания, а также к усложнению алгоритма фильтрации – увеличению объема вычислений при реализации фильтра.

Усечение ряда Фурье приводит также к появлению значительных колебаний функции в точках разрыва (явление Гиббса), которое в данном случае приводит к появлению значительных боковых лепестков вне полосы пропускания и неравномерности АЧХ в рабочем диапазоне частот. Эти эффекты отчетливо проявляются на примере синтеза фильтра нижних частот (рис.2). На рис.2a показана амплитудно-частотная характеристика синтезированного методом взвешивания КИХ-фильтра нижних частот с частотой среза f_c=100Гц при частоте дискретизации f_d=1кГц и длине импульсной реакции L=31. На рис.2б приведена импульсная переходная функция этого фильтра. На рис.2в и 2г показаны аналогичные характеристики КИХ-фильтра при длине импульсной реализации L=127. На графиках ясно видно, что с увеличением L от 31 до 127 значительно сужается переходная зона от полосы пропускания до полосы заграждения, но уровень боковых лепестков и неравномерность в полосе пропускания существенно не меняются. Для уменьшения этого эффекта используется усечение ряда с использованием различных "окон". В этом случае импульсная переходная функция определяется как произведение ранее рассчитанных весовых коэффициентов S_n на функцию "окна". Практически используются различные функции "окона", обладающих разными свойствами, но действие каждого из них сводится к сглаживанию амплитудно-частотной характеристики фильтра, в результате которого снижается уровень боковых лепестков и неравномерность, но расширяется переходная зона. Поэтому выбор "окна" определяется компромиссом между приемлемым уровнем боковых лепестков и допустимой шириной переходной зоны.

Подробные сведения о "окнах" можно найти в рекомендованной литературе. Действие функции "окна" иллюстрируются на примере "окна" Кайзера. "Окно" Кайзера определяется следующей формулой:

где - функция Бесселя нулевого порядка, - параметр, определяющий остаточный уровень боковых лепестков. Вид функции "окна" Кайзера показан при разных значениях параметра на рис.3.

Применение "окна" Кайзера приводит к результатам, показанным на рис.4. На рис.4 приведены амплитудно-частотные характеристики КИХ-фильтров нижних частот с частотой среза f_c=100Гц при частоте дискретизации f_d=1кГц,длина импульсной реализации L=63 и при значениях параметра (рис.4а -=2; рис.4б-=8). Из графиков видно, как с ростом снижается уровень боковых лепестков и расширяется переходная зона.

Таким образом, используя рассмотренные методы, мы можем найти весовые коэффициенты и реализовать алгоритм цифровой фильтрации. Остается открытым вопрос о выборе частоты дискретизации f_d и длины импульсной реакции КИХ-фильтра L.

Частота дискретизации f_d выбирается из условия теоремы

Котельникова

где , - ширина спектра входного сигнала. Реально частоту дискретизации выбирают в несколько выше:

где - коэффициент дискретизации, значение которого принимают 5-10. От выбора длины импульсной переходной функции L зависит крутизна частотной характеристики фильтра, т.е. его способность дифференцированно реагировать на гармонические сигналы с близкими частотами. Поэтому этот параметр можно варьировать для получения необходимых характеристик. Если ввести параметр , характеризующий разрешающую способность по частоте, то длину импульсной реакции можно определить как отношение частоты дискретизации и разрешающей способности:

Теперь рассмотрим пример синтеза цифрового полосового КИХ-фильтра. Разрешающую способность выберем в десять раз меньше полосы пропускания 10Гц. Эта величина определяет ширину переходной зоны от полосы пропускания до полосы заграждения. Частоту дискретизации примем равной 2кГц. Следовательно, длина импульсной реакции равна:

200.

Разложение в ряд Фурье желаемой передаточной функции имеет следующий вид:

Коэффициенты ряда Фурье в данном случае равны:

.

Импульсная переходная функция синтезированного КИХ-фильтра и его амплитудно-частотная характеристика показаны на рис.6а и 6б.