Свойства КИХ-фильтров

В качестве математического описания цифрового фильтра во временной области, устанавливающего связь входного u(n) и выходного v(n) сигналов, используется дискретная свертка

, (1)

где w(n) - импульсная переходная функция (ИПФ) фильтра. Импульсная переходная функция цифрового КИХ-фильтра с конечной импульсной характеристикой отличается от нуля на конечном интервале значений дискретного аргумента от 0 до L-1 (w(n)=S_n и w(n)=0, если n<0 или n>L-1). КИХ-фильтры реализуются с помощью структурной схемы показанной на рис.1.

Рис.1.

Передаточная функция такого фильтра определяется как прямое Z-преобразование импульсной переходной функции:

(2)

После подстановки z=exp(jwT_d) (T_d – интервал дискретизации) получим частотную характеристику фильтра:

(3)

При выполнении условия w(n)=w(L-1-n)=S_n (S_n - действительные числа) КИХ-фильтр обладает линейной фазо-частотной характеристикой. Действительно, при L четном можем получить:

Аргумент фазового множителя exp(-j(L-1)T_d/2) определяет

фазо-частотную характеристику фильтра, которая в данном случае линейно зависит от частоты:

Аналогичный результат имеет место и для нечетного L.

При прохождении сложного сигнала через фильтр с линейной фазо-частотной характеристикой фазовые соотношения между гармониками входного сигнала сохраняются и для соответствующих гармоник выходного сигнала, т.е. отсутствуют фазовые искажения. Действительно, если на вход фильтра передаточной функцией

,

поступает сигнал, содержащий ряд гармоник с частотами , амплитудами U_k и начальными фазами , k=1,2,…

то выходной сигнал будет иметь следующий вид:

.

При линейной фазо-частотной характеристике сдвиг фаз гармоник в фильтре равен , а выходной сигнал имеет следующий вид:

,

т.е. линейность фазо-частотной характеристики приводит к одинаковой задержке (групповому времени запаздывания) всех гармоник входного сигнала. При нелинейной фазо-частотной характеристике групповое время запаздывания определяется как производная ФЧХ по циклической частоте и для разных частот имеет разные значения. Различные временные сдвиги частотных составляющих сложного сигнала приводит к искажениям его формы. Отсутствие фазовых искажений играет исключительно важную роль в ряде прикладных задач, в которых необходимо качественное воспроизведение формы сигнала, например, в кардиографии, и энцефалографии, локации, сейсмических измерениях и т.д.

Задача синтеза КИХ-фильтра заключается определении длины импульсной реакции L и расчете значений весовых коэффициентов S_n=w(n), n=0,1,...,L-1. Рассчитанные параметры КИХ-фильтра должны обеспечить равенство передаточной функции проектируемого цифрового фильтра и желаемой передаточной функции W₀(j) c допустимой погрешностью. При синтезе КИХ-фильтров используются главным образом два метода: метод взвешивания и метод частотной выборки.