ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Иркутский государственный технический университет

Метод частотной выборки

Второй метод синтеза цифровых КИХ-фильтров, метод частотной выборки, основан примерно на тех же принципах, но если при методе взвешивания в ряд Фурье раскладывается желаемая передаточная функция фильтра, то при методе частотной выборки периодически продолжается и раскладывается в ряд Фурье импульсная переходная функция цифрового фильтра. Импульсная переходная функция является дискретной. Разложение по гармоническим составляющим дискретных функций, аналогичное ряду Фурье для непрерывных функций, называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

В этом случае имеем:

где коэффициенты дискретного ряда Фурье, - дискретные гармонические составляющие ряда, - период дискретной функции .

Коэффициенты дискретного ряда равны:

Так как передаточная функция цифрового фильтра равна:

то из полученных выше соотношений следует, что коэффициенты ряда Фурье с точностью до постоянного сомножителя 1/L совпадают с передаточной функцией цифрового фильтра в дискретных точках оси частот :

При синтезе КИХ-фильтра методом частотной выборки дискретные значения его передаточной функции приравниваются дискретным значениям желаемой передаточной функции:

Тогда импульсная переходная функция цифрового фильтра можем представить в виде:

Таким образом, весовые коэффициенты КИХ-фильтра S_n можно определить через значения желаемой передаточной функции в L дискретных точках оси частот на интервале () как это ноказано на рис.7.

В этом случае мы опять сталкиваемся с явлением Гиббса,

которое можно ослабить за счет применения взвешивания полу-

ченных весовых коэффициентов различными функциями "окна".

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра «Квантовой физики и нанотехнологий»

Конспект лекций

Иркутск 2011

Лекция 1.

Понятие модели.

В инженерно-математическом расчете можно выделить три этапа:

1. Математическая формулировка задачи или построение математической модели физики процесса.

2. Выбор метода исследования решения полученной математической задачи и проведение самого математического исследования (сюда же входят приближенные вычисления).

3. Анализ результатов, т.е. их интерпретация относительно реальной физики процесса.

Определение модели. Объект М является моделью объекта А относительно некоторой системы характеристик (свойств) С, если М строится (или выбирается) для имитации А по этим характеристикам.

Модель может быть построена как для изучения указанных характеристик (исследования модели), так и для их непосредственного использования (автопилот, протез, станок с ЧПУ и т.д.).

Поскольку модель строится для части свойств исходного объекта, то она оказывается в целом проще его. По характеру математические модели бывают физическими, экономическими, биологическими и т.д., т.е. они обладают свойствами универсальности, а именно – возможностью описания средствами математики любых объективных процессов.

В прикладном исследовании, в котором применяется математика, последовательно может строиться несколько моделей. Эти модели могут относиться к различным компонентам или аспектам изучаемого явления. Кроме того, могут возникать цепочки, в которых каждое последующее звено служит моделью для предыдущего. Например:

1) реальную конструкцию можно мысленно заменить на систему стержней, панелей, солидов;

2) затем записать систему уравнений, определяющих напряжения и деформации в этих стержнях;

3) далее упростить полученную систему уравнений, отбрасывая члены, которые представляются нам менее существенными и т.д;

4) взаимодействие между этими элементами.

В процессе исследования происходят переходы от одних моделей исследования к другим, а иногда – параллельное изучение нескольких моделей.

Исследование моделей тем успешнее, чем больше принято во внимание при ее построении основательных соображений о предполагаемых свойствах изучаемого объекта. Надо знать, что искать.

Требование адекватности ММ.

Это требование соответствия ММ реальному изучаемому объекту относительно выбранной системы его характеристик. Под этим понимается:

1) правильное качественное описание объекта по выбранным характеристикам;

2) правильное количественное описание объекта с некоторой разумной степенью точности.

Чаще говорят о степени адекватности модели, понимая под этим долю истинности модели относительно выбранной системы характеристик изучаемого объекта.

Нормированная степень адекватности принимает значения от 0 (полная неадекватность) до 1 (полная адекватность).

Адекватность модели следует рассматривать только по определенным признакам или характеристикам, принятым в данном исследовании за основные. Не существует «адекватности вообще», или полной адекватности, потому что это означало бы тождество между моделью и объектом. Если модель тождественна объекту, значит это не модель, а объект.

Требование простоты и оптимальности.

Чем выше степень адекватности модели, тем она менее проста и тем труднее ее анализ, и наоборот.

Адекватность (сложность) модели определяется числом факторов, которые могут так или иначе повлиять на изучаемые характеристики. Например, при составлении системы дифференциальных уравнений процесса (изучаемого объекта) выгоднее привлечь как можно больше параметров, что может привести к громоздким, порой необозримым системам уравнений, не поддающихся изучению.

В связи с этим возникает требование достаточной простоты по отношению к выбранной системе ее характеристик. Требование простоты противоположно требованию адекватности. Модель считается достаточно простой, но адекватной, если современные средства исследования (вычислительные, математические и др.) дают возможность провести с разумной точностью качественный и/или количественный анализ выбранных характеристик (свойств).

Для выбора компромисса между адекватностью и простотой модели часто применяется понятие «наглядности модели» или «выявляемости» в модели. Имеется в виду выявляемость интересующих характеристик в модели относительно объекта при определенном соотношении простоты и адекватности. Например, грубое разбиение модели на элементы (сетка) не учитывает концентрации напряжений. Наглядность чаще всего определяется опытом работы с моделью.

Лекция 2.

Феноменологические и полуэмпирические законы.

При построении ММ, т.е. при выводе системы дифференциальных уравнений, описывающих изучаемый объект, используются различные соотношения и законы. Часть их принимается без вывода, такие соотношения и законы являются постулатами модели. Большинство их «вытекает» из универсальных физических законов: законы сохранения энергии, законы Ньютона и др.

Однако, в большинстве случаев универсальных физических законов не хватает для построения ММ объекта. Более широко используются феноменологические законы. Они фундаментально и эмпирически хорошо обоснованы, но имеют ограниченную область действия, установленную эмпирически.

Классическим примером феноменологического закона является закон Гука.

При использовании феноменологического закона для построения ММ одним из центральных является вопрос о «попадании» изучаемого объекта в область действия этого закона, т.е. вопрос о самой возможности его применения.

Иногда эти вопросы оговариваются заранее: упругая модель, пластическая модель, упруго-пластическая модель.

в сущности любой фундаментальный закон феноменологичен, иначе человек уже давно абсолютно проник бы в природу вещей, что, в принципе, невозможно.

Еще менее универсальный характер имеют полуэмпирические законы (соотношения). Они устанавливаются в процессе обработки результатов натурного эксперимента. Область применения (определения) такого закона ограничена узкими рамками условий, при которых он был получен (например: геометрических форм, уровня температур и др.).

Возможность применения полуэмпирического закона за его рамками сопряжена с риском получения ошибочных данных. В этом случае необходим анализ применения полуэмпирического закона на том или ином этапе.

Допущения, принимаемые при построении модели, не ограничиваются применением феноменологических и полуэмпирических законов. Эти допущения могут относиться к геометрическим формам, к свойствам однородности, изотропии, упругости и т.д. К допущениям могут относиться рабочие гипотезы о них.

Лекция 3.

Определяющие параметры и число степеней свободы.

Повышение адекватности ММ часто связано с расширением набора учитываемых переменных (координат и параметров), имеющих количественный или качественный характер.

Расширение набора переменных, имеющих количественный характер, в общем случае связано с числом степеней свободы. Конечное число степеней свободы представляет собой идеализацию, т.к. в действительности объект имеет бесконечное число степеней свободы. Большое число степеней свободы делает модель громоздкой и сложной в анализе.

Уменьшение числа степеней свободы, не приводящее к заметной потере адекватности, требует большого опыта и оказывается весьма существенным для возможности решения задачи.

Пример. Модель Планеты Земля относительно Солнца имеет 6 степеней свободы. Если моделировать Землю с точки зрения геологии, то число степеней свободы будет иметь очень большое (может быть, бесконечное) значение.

Расширение набора переменных, имеющих качественный характер, зависит от определяющих параметров, которые являются главными при построении ММ.

Таким образом, выбор числа степеней свободы для реальной системы не имеет абсолютного характера. Он зависит от выбора модели, или от самой задачи, т.е. от: набора изучаемых параметров, необходимой точности результатов, типов возмущений и т.д.

Вопрос о разумном выборе числа степеней свободы наряду с определяющими параметрами сводится к специальному исследованию, называемому в практике исследованием точности сходимости. Когда на данной области определения при определенных условиях задачи меняется число степеней свободы и анализируется изменение искомых параметров.

Иерархия переменных.

Расширение математического описания объекта может происходить в двух направлениях.

1. За счет уточнения качественного поведения основных переменных, взятых в модели за исходные.

2. За счет привлечения новых переменных, качественно отличных от основных (которые уже были приняты во внимание в более грубом рассмотрении).

Эти привлекаемые переменные принадлежат к одному из классов:

1) «быстрые» переменные, характерная протяженность изменения которых во времени или пространстве (в зависимости от типа задачи) столь мала, что при грубом рассмотрении они принимаются во внимание только своими интегральными или осредненными характеристиками;

2) «медленные» переменные, характерная протяженность изменения которых столь велика, что при более грубом рассмотрении они считаются постоянными;

3) «основные» переменные, влияние которых на изучаемую характеристику системы столь мало, что при более грубом рассмотрении они игнорируются.

Деление переменных на «быстрые», «медленные» и «основные» не имеет абсолютного характера и зависит от постановки вопроса, т.е. от того, какие характеристики и в каком аспекте изучаются.

На примере рассмотрим процесс упруго-пластической деформации:

1. Объектом изучения выбирается распространение упругих волн, тогда пластическая деформация будет медленной.

2. Объектом изучения выбирается пластическая деформация, тогда упругие деформации будут быстрыми и в грубом приближении их влияние можно учесть с помощью осреднения.

Таким образом, выбор (иерархия) характеристик дает возможность как бы принять решения о выборе масштаба времени (быстрые, медленные, основные). Такое разделение по скорости протекания дает возможность изучать данные процессы в грубом приближении независимо одно от другого, что существенно упрощает задачу.

Однако, для введения уточняющих переменных исходная, грубая модель должна допускать возможность такого уточнения. Именно составление грубой адекватной модели, допускающей возможность уточнения, является решающим для математической модели.

Такое составление опирается на обсуждение физической картины изучаемого явления, применимости гипотез, грубых прикидок влияния различных факторов на изучаемые характеристики.

Оптимальной является ситуация, когда удается выделить по возможности наибольшее число основных факторов, влияние которых одного порядка и не слишком сложно описывается математически, тогда как влияние других факторов оказывается возможным учесть с помощью осредненных интегральных или «замороженных» характеристик.

Для многих задач грубой модели достаточно. Ее целесообразно строить даже в том случае, когда заведомо известно, что она недостаточна.

Применение грубой модели делает ее закономерности более прозрачными и позволяет более рационально организовать исследование полной модели. Например, при изучении движения планеты вокруг Солнца наиболее грубой моделью является материальная точка, движущаяся вокруг неподвижного материального тела. Более полной моделью будет модель, в которой центральное тело стало подвижным. Затем можно учесть влияние других планет, релятивистский эффект и т.д.

Лекция 4.

Контроль математической модели.

На математическом уровне проверка адекватности достаточно сложна. (существует специальная теория погрешности). Поэтому в инженерной практике начинают с грубых моделей и прикидок, позволяющих дать понимание того, что происходит в системе, какие факторы оказывают существенное влияние на интересующие характеристики. такие прикидки позволяют затем создать достаточно полную модель и избежать ее усложнения. Важнейшей проблемой при этом является выбор законов и гипотез, лежащих в основе модели. Если эти трудности преодолены, то необходимо приступить к анализу соотношений, связывающих участвующие величины. Это называется контролем модели. Контроль модели может относиться к различным характеристикам модели.

1. Контроль размерности.

Состоит в том, что складываться и приравниваться могут только величины одинаковой размерности. Этот контроль необходимо соблюдать на всех этапах создания модели.

2. Контроль порядков.

Состоит в грубой оценке порядков складываемых величин. При этом выделяются основные слагаемые, а малозначительные отбрасываются.

3. Контроль характера закономерностей.

Состоит в анализе направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Главное правило: направление и скорость величин должны быть такими, как это следует из смысла задачи. В противном случае имеет место ошибка в представлении одной из величин. Например: D = A B – C; увеличением A или B – возрастает, с увеличением C – убывает. Наличие подобного рода качественных выводов служит добавачным источником контроля.

4. Контроль экстремальных ситуаций.

Состоит в анализе получаемых соотношений, если входящие в них параметры приближаются к своим крайним допустимым значениям. Чаще всего – к нулю или бесконечности. Как результат такого контроля – упрощение (иногда – вырождение) рассматриваемой задачи. Соотношения приобретают более наглядный смысл, а окончательные выводы могут быть продублированы каким-либо другим методом контроля.

5. Контроль граничных условий.

В процессе исследования ММ должна быть построена некоторая функция, кроме того требуется, чтобы на границе области ее определения она удовлетворяла определенным граничным условиям, «вытекающим» из смысла задачи. Если имеется решение дифференциального уравнения, то требуется контроль того, что граничные условия действительно поставлены, использованы для построения искомой функции, и что сама функция на самом деле удовлетворяет таким граничным условиям.

6. Контроль математической замкнутости.

Состоит в анализе того, что используемые соотношения дают возможность однозначно решить математическую задачу. Задача может быть поставлена так: «найти какое-нибудь решение», «найти все решения» или «найти решение, удовлетворяющее поставленному дополнительному условию». В общем случае такой контроль имеет целью свести задачу к отысканию n неизвестных из n уравнений. Если число уравнений меньше числа неизвестных, необходимо найти недостающие уравнения, если больше – то: либо некоторые из этих уравнений являются зависимыми, либо при их составлении допущена ошибка.

Лекция 5.

Выбор метода исследования.

В общем случае для получения решения некоторой инженерной задачи работает схема

(1)

Первый этап завершается записью исходных соотношений – уравнений задачи. Второй этап состоит в процессе решения задачи. Решение может быть получено в виде количественных результатов и/или качественных выводов.

После реализации данной схемы имеет место интерпретация результатов, затем, при необходимости, работа по данной схеме повторяется с уточнением модели или способа решения.

Внешнее и внутреннее правдоподобие.

Степень адекватности модели относительно реального объекта схемы (1) называется внешним правдоподобием. Оно характеризует соответствие ММ изучаемому реальному объекту по интересующим свойствам.

Внешнее правдоподобие зависит от того, насколько модель опробована, а также от опыта исследователя.

Степень ожидаемой точности решения по изучаемым характеристикам в модели относительно объекта называется внутренним правдоподобием (2 этап на схеме). С ним непосредственно связан выбор метода решения, а также различного рода переходы от грубого решения к более точному.

Соотношение между внешним и внутренним правдоподобием состоит в разумных требованиях к внешнему правдоподобию при принятом уровне внутреннего правдоподобия. Существует две точки зрения на это соотношение.

1. Ее придерживаются ученые-математики. Заключается в том, что, если прикладная задача сформулирована на математическом уровне, решать ее нужно «строго», на уровне «чистой математики». Другими словами, при данном внешнем правдоподобии внутренне правдоподобие должно быть максимальным.

2. Инженеры-исследователи. Заключается в учете того, насколько повышение трудозатрат на увеличение внутреннего правдоподобия окупится ожидаемым повышением итоговой адекватности решения.

Таким образом, в рассматриваемом соотношении для инженерной практике недопустимы следующие ситуации.

1. Исследователь стремится к максимальному внешнему правдоподобию, учитывая всевозможные параметры и связи, что приводит к весьма сложным системам уравнений.

2. Исследователь заинтересован лишь в математическом совершенстве модели и может значительно отклониться от реальной картины.

Обе эти ситуации опасны тем, что могут создать иллюзию точности построения и решения модели.

Лекция 6.

Прикидки в математической модели.

Прикидками называются сформулированные на математическом языке предварительные исследования модели и ее элементов. Эти исследования могут дать сведения о решении, об оценках сравнительных значений отдельных компонент, об упрощении решения. При таких исследованиях приобретаются навыки и интуиция, необходимые для построения модели.

Прикидки направлены на:

– упрощение уравнений задачи;

– уточнение их структуры в связи с методом решения;

– получение предварительных сведений о самом решении.

Основной метод упрощения уравнения основан на прикидке сравнительных величин отдельных его членов в изучаемом диапазоне изменения переменных и параметров задачи. После этого малые слагаемые можно либо отбросить, либо упростить по определенным формам. После решения упрощенного уравнения можно путем подстановки абсолютных значений проверить, в самом ли деле относительно малы отброшенные члены.

Аналогичным образом могут производиться и иные упрощения: замена нелинейной зависимости на линейную, разбиение диапазона изменения на части и т.д.

Выбор точности метода.

Является центральным в проблеме согласования уровней внешнего и внутреннего правдоподобия. Под ним следует понимать как степень точности исходных данных, так и степень адекватности ММ реальному объекту.

Если нет уверенности в адекватности модели, то рассматривают вопросы: определяющих параметров, иерархии переменных и числа степеней свободы в модели.

Чтобы не ошибиться в выборе метода, применяют искусство грубого решения, но с дальнейшим уточнением.

Часто встречаются случаи, когда к заведомо грубой модели применяются громоздкие вычислительные методы, дающие высокий уровень точности математического решения, однако конечные результаты оказываются весьма приближенными. Поэтому такие методы нецелесообразны.

При реализации численного решения с помощью ЭВМ для выбора метода часто применяется контроль точности сходимости полученных решений.

Лекция 7.

Вариационные и экстремальные подходы. Понятие функционала.

Большинство ММ строится на основе вариационной задачи или задачи на экстремум относительно реального объекта.

Межу вариационным и экстремальным подходом нет принципиальной разницы. Общим принципом является приравнивание нулю дифференциала исследуемой функции. Исходная задача может либо с самого начала иметь экстремальный характер, либо этот характер может ей намеренно придаваться, например, с помощью привлечения того или иного экстремального принципа.

В обоих случаях рассматривается соответствующий функционал на том или ином многообразии конкурирующих между собой объектов.

При экстремальном подходе эти объекты выбираются так, чтобы функционал принимал для них минимальное или максимальное значения.

При вариационном подходе руководствуются вариацией первого порядка, либо привлекается дополнительная вариация второго порядка.

Понятие функционала является расширением понятием функции, когда область определения Е есть множество объектов произвольной природы. Если каждому элементу f из Е ставится действительное число J, то говорят, что на множестве Е определен функционал J = J(f).

Например: вычислить функционал

, если y₁(x) = x, y₂(x) = e^x, y₃(x) = .

Здесь функционал задан, как определенный интеграл. Подставляя в это соотношение данные функции, получим числовые значения функционала.

При y₁(x) = x: ;

при y₂(x) = e²: ;

при y₃(x) = : .

Лекция 8.

Дискретное и непрерывное.

Исходная модель относительно среды (объекта) чаще всего берется непрерывной, т.е. принимается, что свойства среды описываются математическими полями.

При получении решения, в особенности приближенного, можно пойти двумя путями: дискретным и непрерывным.

Дискретный предполагает замену математического континиума на дискретную систему узлов сетки или участков, в каждом из которых приближенное решение может быть построено проще и эффективнее.

Непрерывный предполагает применение на математическом континиуме решения в виде суммы функционального ряда.

С развитием вычислительной техники большую эффективность на этапе построения решения показал дискретный подход. Поэтому в настоящее время он используется и на этапе построения исходной модели, которая приспособлена к решению без предварительного видоизменения. Такова ситуация при использовании метода конечных элементов.

С другой стороны иногда полезно приводить заведомо дискретную модель к непрерывной. Например, решетку с очень мелкой ячейкой можно представить в виде обычной пластины с жесткостными свойствами решетки. Или применение «размазывания» стрингерного набора в подкрепленной обшивке.

Аналогично можно поступить с распределением дискретных статистических единиц: людей в демографии, звезд в космологии и т.д.

На взаимосвязи дискретного и непрерывного выведены формулы вычисления центра тяжести тела, изобретен интеграл, как некоторая сумма участков, выведено понятие производной.

Лекция 9.

Устойчивость.

Свойство сохранения качественного содержания закономерностей (понятий и методов) при относительной малости изменения их количественных характеристик, а также достаточно малых возмущениях, называется устойчивостью. (Не следует путать с понятием «устойчивость конструкций»).

В настоящее время общее понятие устойчивости заменяется более специальными ее названиями: «чувствительность», «надежность», «стабильность» и т.д. Эти понятия определяют общее свойство изучаемых характеристик объектов – не слишком сильно изменяться при изменении некоторых параметров, влияющих на эти характеристики. Это определяет лишь самую общую схему рассуждений. В конкретных задачах помимо формирования подходящего варианта понятия устойчивости, основную трудность представляет математическое исследование переходного оператора, который чаще всего не задается в явном виде, а получается в результате решения уравнений. И хотя обычно нужен ответ в простой форме: «да» или «нет», получить его, минуя полное решение этих уравнений, весьма сложно.

Чтобы обойтись без такого решения, создан и непрерывно расширяется целый арсенал качественных методов, дающих достаточные условия устойчивости или неустойчивости. Эти методы широко известны в применении к теории устойчивости Ляпунова.

Казалось бы, интерес должны представлять только устойчивые движения, однако это не совсем так. Важно, чтобы движение было реализуемым практически. Оно может быть неустойчивым по Ляпунову, но влияние возмущения может столь медленно нарастать, что за интересующий нас интервал времени это возмущение остается незначительным. Например, в классическом балете неустойчивое по Ляпунову положение балерины, при котором она некоторое время стоит на оттянутом носке.

Лекция 10.

Поучительность примеров.

Примеры используются при выборе метода исследования того или иного класса задач. По сути они являются уже готовыми моделями изучаемого явления.

Каждый пример имитирует исследуемую модель лишь по некоторым свойствам. Серия примеров способствует пониманию этих свойств в более общем интересующем случае.

Примеры часто удается исследовать значительно детальнее и с более высокой степенью достоверности, чем основную модель. Так формируется правильная интуиция исследователя. На примерах проверяются гипотезы, и серия примеров может показать степень их достоверности и применимости.

На практике поучительность примеров заключается в том, что подбирается некоторый упрощенный пример, отражающий качественную (иногда количественную) характеристику отдельного объекта.

Подобные задачи называются эталонными. Глубокие исследования эталонной задачи позволяют уточнить качественные свойства решений, а на основании сравнения с другими моделями или с экспериментом – установить адекватность данной модели.

Лекция 11.

Вычислительная техника.

Прикладная математика базируется на математике вычислительной, которая с появлением ЭВМ претерпела существенные изменения, заключающиеся в том, что ей стало доступным вычисление практически любых функционалов, даже тех, которые построены на вероятностных характеристиках стохастических процессов. (Стохастические – это случайные процессы, течение которых может быть различным в зависимости от случая, и для которых существует вероятность того или иного течения. Например: изменение координат частиц в броуновском движении.)

Математические модели таких явлений можно условно разделить на два типа: аналитические и статистические.

Аналитические – связаны с составлением и решением (точным либо приближенным) соответствующих систем уравнений и удобны для анализа, вычисления и оптимизации результатов для сравнительно простых задач.

Статистические (например, метод Монте-Карло) – используются для более сложных задач. Здесь модели реализуются в виде программы для ЭВМ, а случайные компоненты вводятся с помощью датчика случайных чисел.

Например, одним из направлений таких моделей являются имитаторы. Когда в качестве датчика случайных чисел используется человеческий фактор (на таком принципе построены компьютерные игры).

Общая схема решения задач для ЭВМ включает три этапа.

Первый: разработка ММ и алгоритма ее представления в ЭВМ (в том числе кодировка), здесь расчеты носят характер набросков, определяется объем вычислений, машинное время и тд.

Второй: отладка алгоритма, и соответственно ММ, на ЭВМ. Может оказаться достаточно длительным. Здесь проверяется, в основном, насколько полно рассматриваемая модель отражается в алгоритме на ЭВМ.

Третий: интерпретация результатов. Здесь производится как объяснение результатов, так и проверка того, насколько соответствуют результаты физической модели и не является ли часть из них следствием формально представленных вычислений, а не физических закономерностей.

Если ошибки носят концептуальный характер, осуществляется переход к первому этапу, его корректировки, и так далее по циклу с изменение как качественных, так и количественных характеристик в модели относительно объекта.

Ошибки округления.

В ВТ есть понятие «машинного слова». Это количество регистровой памяти, выделяемое ЭВМ под число. Оно может быть значением константы, переменным, адресом и т.д. И поскольку МС конечно, а величина вещественного числа бесконечна, в особенности, число знаков после запятой, то при вычислении имеют место ошибки округления.

Величина ОО зависит от числа регистров и от числа операций.

С проблемой ОО непосредственной связана проблема так называемой обусловленности системы уравнений, из которых определяются необходимые величины. Если система уравнений плохо обусловлена, то малые изменения исходных данных могут привести к немалому изменению решения. Такие системы особенно чувствительны к ОО.

Как и вычислительная неустойчивость, плохая обусловленность может быть обнаружена либо из теоретических соображений, либо эмпирически – путем повторного вычисления с измененными в рамках реально осмысленной точности исходными данными.

Гораздо более серьезной трудностью вычисления на ЭВМ является существенное увеличение числа независимых переменных. Например, сгущение сетки КЭ на той же области определения.

Существуют различные подходы для компенсации ОО. Наиболее простой из них – увеличение количества регистров под машинное слово.

Второй способ – применение различного рода корректирующих (сглаживающих) алгоритмов, основанных на вычислительных подходах.

В любом случае, чтобы быть защищенным от ОО, при движении к получению результата необходимо идти последовательно от грубого, может быть аналитического решения, к более сложному.

Волевые действия.

Волевые действия необходимы при внесении качественных изменений в модель, в особенности они сопутствуют отчетливо недедуктивному рациональному переходу. Здесь возникает множество вопросов.

1. Можно ли считать то или иное рациональное рассуждение в данной конкретной ситуации доказательным?

2. Является ли выбранная модель адекватной?

3. Является ли решение математической задачи в рамках выбранной модели достаточно точным?

4. Можно ли на основании полученного решения дать те или иные выводы и рекомендации?

Роль волевых действий особенно велика, если необходимо удовлетворить нескольким требованиям, которые могут противоречить друг другу.

Лекция 12.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестные функции, независимую переменную и производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

В форме ДУ представляется большинство физических законов. Однако число ДУ, которые решаются в замкнутом виде (аналитически) весьма ограничено. При решении ДУ можно использовать прием «разложение в ряд», хотя при большом количестве членов ряда решение становится громоздким и не всегда эффективным. Поэтому при решении многих инженерных задач используются численные методы (приближенные), предполагающие определенного рода дискретизацию области определения, а также упрощенную форму организации решения.

Если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным (ОДУ), если от нескольких – уравнением в частных производных (УЧП).

Наиболее общий вид ДУ:

,

где y=y(x) – искомая функция.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Степенью уравнения называется наивысшая степень старшей производной.

Уравнение n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции y=y(x) и всех ее производных, т.е. если в уравнение (см. выше) величины y,.., y⁽ⁿ⁾ входят только в первой степени или отсутствуют. При этом отсутствовать может любая из величин, но не старшая.

Постановка задач и методы численного решения ОДУ. Начальная и краевая задачи. Численное решение задачи Коши.

Решение ДУ n-го порядка в самом простейшем случае сводится с n-кратному интегрированию заданной функции. Поэтому в состав его общего решения должны входить n произвольных постоянных: С₁, С₂,…, С_n. В частности, в общее решение уравнения первого порядка входит только одна произвольная постоянная С = С₁, так как в этом случае n = 1. При n = 2, т.е. в случае уравнения второго порядка, в общее решение будут входить две произвольные постоянные: С₁ и С₂, и т.д.

Такую же структуру сохраняет общее решение (или общий интеграл) и во всех других случаях ДУ n-го порядка. Поэтому, для того, чтобы задачу сделать однозначной, необходимо задать n каких-либо дополнительных условий, из которых можно определить n постоянных. Если все эти условия заданы в начальной точке х=х₀, т.е. если в точке х=х₀ задана сама функция y(x₀) и все ее производные до порядка (n – 1) включительно, то рассматриваемая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Если же условия заданы на концах рассматриваемого интервала, то задача называется краевой (необходимо найти такое решение уравнения, которое проходило бы через две заданные точки: х=х₁, y=y(x₁) и х=х₂, y=y(x₂).

Существую и другие типы задач интегрирования уравнений.

Традиционно в задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче – граничными.

Для примера численного решения задачи Коши возьмем простейший случай уравнения 1-го порядка, заданного в явной форме:

(1)

и начальное условие y(x₀)=y₀. (2)

Требуется найти функцию y=y(x), удовлетворяющую как уравнению (1), так и условию (2).

Обычно численное решение задачи Коши получают, вычисляя сначала значение производной, а затем, задавая малое приращение h независимой переменной x, переходят к новой точке x_k+1 = x_k + h, где k = 0, 1, 2,….

Положение новой точки определяют по наклону кривой, вычисленному с помощью правой части уравнения (1), т.е. из того, что производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке.

Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков (ломаную кривую), которыми аппроксимируется истинная кривая y=y(x). Численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники. Причем методы решения можно разделить на две группы.

1. Одношаговые. Для нахождения следующей точки на кривой y=y(x) требуется информация о значении переменной лишь в предыдущей точке. Одношаговыми являются методы Эйлера и Рунге-Кутты.

2. Многошаговые (или методы прогноза и коррекции). Для нахождения следующей точки на кривой y=y(x) требуется информация о более чем одной предыдущей точке. Многошаговыми являются методы Милна, Адамса-Башфорта и Хемминга.

Источники погрешностей и типы ошибок численного решения.

Существует три вида погрешностей в зависимости от источника.

1. Погрешность округления – вызвана регистровым ограничением на представление числа в ЭВМ.

2. Погрешность усечения – для аппроксимации функции берется ограниченное число членов ряда (часто 2 – 3 члена ряда).

3. Погрешность распространения – результаты накопления погрешностей на предыдущих этапах расчета.

Эти источники вызывают ошибки двух типов.

1. Локальная - сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на каждом шаге вычислений.

2. Глобальная – разность между вычисленным и точным значением величины, определяющая погрешность, накопленную с момента начала вычисления.

Лекция 13.

Одношаговый метод Эйлера при решении задачи Коши.

Это простейший метод, позволяющий интегрировать ОДУ первого порядка. Его точность невелика, поэтому он крайне редко используется на практике, однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Метод Эйлера основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности точки x₀

(3)

Необходимо отметить, что применение разложения функции в степенной ряд допустимо как к линейным ДУ, так и к очень широкому классу нелинейных ДУ произвольного порядка, что делает степенной ряд незаменимым при изучении очень большого числа самых разнообразных технических задач.

Графически представим решение в следующем виде.

Рис. 1 – Графическое представление метода Эйлера

Очевидно, что если шаг h мал (меньше 1), то члены, содержащие h в более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков, и ими можно пренебречь. Тогда

. (4)

Значение находят из правой части уравнения (1), подставив в него начальное условие (2), т.е. .

Таким образом, можно получить приближенное значение искомой функции y=y(x) при малом смещении h независимой переменной x от начальной точки x₀. Этот процесс можно продолжить, используя соотношение , где k = 0, 1, 2,… и делая сколь угодно много шагов. Подобные формулы, где результативные данные, полученные в очередном k-м шаге, возвращаются затем в виде исходных данных для вычисления значения в следующем k+1 шаге, получили название рекуррентных.

Ошибка метода Эйлера имеет порядок h², так как член h² и все последующие члены в более высоких степенях ряда (3), отбрасываются.

Модифицированный метод Эйлера.

Заметим, что если в точке x₀ имеем точное значение производной (равное тангенсу угла наклона), то с изменением независимой переменной x оно меняется, поэтому меняется и наклон касательной. Следовательно, при сохранении первоначально наклона касательной в результаты вычислений вносится погрешность на всем интервале h.

Точность метода Эйлера можно повысить, улучшив аппроксимацию производной. Например, если использовать вместо значения производной в начале интервала (в точке x₀) среднее арифметическое значение двух производных: в начале интервала и в конце (в точке x₀+h).

В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляют значение функции в следующей точке по обычному методу Эйлера

, (5)

затем используют это значение для вычисления приближенного значения производной в конце интервала (как бы для следующего участка). Вычислив среднее между этим значением производной и значением в начале интервала, находят более точное значение y_k+1, а именно

. (6)

Принцип модифицированного метода Эйлера можно пояснить иначе. Рассмотрим ряд Тейлора (3). Чтобы сохранить член с h², надо знать вторую производную , которую можно в простейшем варианте аппроксимировать разностью

. (7)

Подставив выражение (7) в ряд Тейлора (3), получим

.

Погрешность модифицированного метода Эйлера имеет порядок h³. Соответственно, более высокая точность требует дополнительных вычислений. Для еще большего уточнения необходимо увеличивать число членов ряда Тейлора.

Методы Рунге-Кутты.

Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо каким-то способом вычислить n-ую производную. В модифицированном методе Эйлера для вычисления второй производной применена конечно-разностная схема, т.е. достаточно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемого интервала. Для вычисления третьей производной в конечно-разностном виде необходимо знать дополнительно наклон в некоторой промежуточной точке интервала. Для вычисления четвертой производной нужно знать наклон в двух промежуточных точках.

Методы Рунге-Кутты дают набор формул для расчета координат внутренних точек. Наиболее распространенным является метод, согласно которому удерживаются члены с h⁴. Расчеты при использовании этого метода производят по формуле

,

где , , , .

Чтобы обеспечить высокую эффективность вычислительного процесса, величину h следует выбирать из соображений максимально допустимой ошибки на шаге. Такой выбор включается в алгоритм решения, где разница между предыдущим и последующим значением искомой функции не должна превышать некоторого заранее заданного значения.

Методы Рунге-Кутты для системы ОДУ.

Известно, что любое ДУ n-ого порядка можно свести к n ДУ первого порядка. Следовательно, для их решения можно использовать любую из формул Рунге-Кутты.

Например, в ОДУ второго порядка

(8)

можно принять обозначение , следовательно .

В результате этого выражение (8) можно представить в виде

, (9)

где формально введена функция .

Задача Коши для системы уравнений (9) содержит два начальных условия

Обобщенная характеристика одношаговых методов.

Всем одношаговым методам присущи определенные черты.

1. Для вычисления искомой функции в очередной точке необходимы данные лишь об одной предыдущей точке – свойство «самостарта». Это свойство позволяет легко менять шаг h.

2. В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие h в степени m. Число m является целым и называется порядком метода. Погрешность метода имеет порядок m+1.

3. Все одношаговые методы не требуют вычисления производной, вычисляют лишь саму функцию. Однако могут потребоваться ее значения в нескольких промежуточных точках.

Лекция 14.

Многошаговые методы решения задачи Коши.

Здесь для численного решения задачи Коши используется информация о нескольких ранее полученных точках. Для движения в области определения функции используются формулы прогноза, а для улучшения результата по точности – формулы коррекции. В отличие от одношаговых эти методы не обладают свойством «самостарта», поэтому при вычислении сначала используют одношаговые методы.

Общий алгоритм методов прогноза и коррекции.

1. Применяя одношаговый метод (чаще всего Рунге-Кутты), находят начальное значение искомой функции y_n.

2. По формулам прогноза определяют значение , где верхний индекс означает, что прогнозируемое значение является одним из последовательности значений, располагающихся в порядке возрастания точности по прогнозируемому значению .

3. С помощью ОДУ находят производную

(10)

4. Затем используют формулу коррекции, подставляют в нее значение (10) для вычисления уточненного значения

, (11)

где j = 0, 1, 2…

5. Итерационный процесс по j (возвращение к пункту 4) продолжается до тех пор, пока не выполнится условие

, (12)

где ξ – некоторое наперед заданное положительное число.

Последнее значение , при котором выполняется условие (12), используется в качестве окончательного для вычисленного значения y_n+1 искомой функции.

6. Переход к следующему шагу по n.

Метод Милна.

В этом методе на этапе прогноза используется формула

,

а для коррекции – формула Симпсона

.

Последние члены в этих формулах в итерационном процессе не используются. Они служат лишь для оценки ошибки. Метод Милна является методом четвертого порядка точности, так как в нем отбрасываются члены, содержащие h в пятой и более высоких степенях.

Метод Адамса-Башфорта.

Данный метод имеет 4-ый порядок точности, в основе которого лежат формулы:

прогноза

,

коррекции

.

Метод Хемминга.

Это устойчивый метод четвертого порядка точности, в основе которго лежат следующие формулы:

прогноза

,

коррекции

.

Общая характеристика многошаговых методов.

По сравнению с одношаговыми многошаговые методы обладают следующими свойствами.

1. Не являются «самостартующими», если в процессе решения изменяется шаг, то приходится временно переходить на одношаговый метод.

2. Поскольку требуются данные о предыдущих точках, то соответственно требуется больше памяти ЭВМ.

3. Точность одного порядка с одношаговыми, но методы прогноза и коррекции позволяют оценить погрешность и шаг h можно выбрать большим.

Основы метода конечных разностей (МКР).

Формулы конечной записи производных.

МКР основан на приближенной (численной) записи производных через разности значений самой функции в заранее выбранных точках на интервале интегрирования ОДУ.

Формулы МКР получаются путем замены бесконечно малых приращений аргумента и функции на конечные приращения, т.е.

заменяется на .

Для получения приращения функции Δy на интервале вариации аргумента x, в котором задано ОДУ, выбираются отдельные (дискретные) точки. Шаг Δx между этими точками может быть переменным. Для упрощения используем его постоянным: Δx = h = const. y_i = y(x_i) – значение искомой функции в выбранных точках. Таким образом, имеем

(13)

и три типа формул вычисления производной.

1. Приращение Δy_i функции за счет приращения аргумента Δx = h на отрезке [x_i-1, x_i] слева от точки с номером i вычисляется по формуле

Δy_i = y_i – y_i-1, (14а)

следовательно, по формуле (13) имеем

. (15а)

2. Приращение Δy_i можно получить на отрезке [x_i-1, x_i] справа от точки i

Δy_i = y_i+1 – y_i, (14б)

тогда конечно-разностное выражение для производной имеет вид

(15б)

3. Приращение Δy_i на отрезке [x_i-1, x_i+1], т.е. когда Δx = 2h, составит

Δy_i = y_i+1 – y_i-1, (14в)

а конечно-разностное выражение для производной имеет вид

. (15в)

Выражения (14а), (14б) и (14в) называются соответственно левой, правой и центральной разностью, а выражения (15а), (15б) и (15в) – левой, правой и центральной записью производной.

Геометрическим смыслом конечно-разностных представлений производных являются тангенсы углов наклона секущих.

На практике используются все три вида конечной записи производной, но центральная запись дает большую точность. Это видно из рисунка: угол наклона секущей между ординатами y_i-1­ и y_i+1 ближе к углу наклона касательной, чем углы наклона двух других секущих.

Ясно, что при уменьшении шага h конечные записи всех трех вариантов производной приближаются к точной записи .

Формулы конечной записи производной для второго и более высоких порядков.

Формулы конечной разности искомой функции позволяют получить конечную запись производной любого порядка. Представляя вторую производную как , получим

.

Далее, подставляя (15в), получим центрально-разностную конечную запись второй производной

.

Аналогично для второй производной можно получить формулы на основе левой и правой разностей.

Центрально-разностная схема предпочтительнее по точности, и она используется как основная, левая и правая часто используются в начале и в конце процесса вычисления.

На практике пользуются уточненной конечно-разностной схемой, соответствующей шагу h/2.

Для ее получения введем фиктивные вспомогательные точки: и , делящие отрезки [x_i-1, x_i] и [x_i, x_i+1] пополам. Тогда для них получим

и .

Подставляя эти производные в выражение

,

получим уточненную формулу второй производной

.

Более старшие производные можно получить аналогично, например для третьей производной, представляя ее в виде

.

Общая схема решения краевой задачи методом конечных разностей.

Для примера возьмем анализ напряженно-деформированного состояния конструкции, который сводится к решению ДУ с необходимым числом краевых условий.

Чаще всего краевые условия в задачах прочности накладывают ограничения на перемещения отдельных точек. Иногда ограничения накладываются на усилия.

Совокупность ДУ и необходимого числа краевых условий, которые описывают поведение конструкции, называется краевой задачей.

Зачастую единственно возможным путем получения решения краевой задачи является приближенный численный метод.

Численное решение краевой задачи в МКР состоит в применении формул конечной разности производных.

Рассмотрим общую схему решения в МКР краевой задачи.

Пусть краевая задача описывается линейным ОДУ

, (1)

где L – известный линейный оператор;

– известная функция, определяемая заданной внешней нагрузкой.

Начертим область определения и область изменения неизвестной функции. Область определения функции может быть одномерной, двумерной, трехмерной и т.д. Для примера возьмем одномерную область определения.

Сначала по длине l конструкции выбираем n точек с постоянным шагом , которые будем называть расчетными сечениями.

Затем ДУ (1) записывается для каждого расчетного сечения в виде

, (2)

где i = 1, 2, …, n

Т.е., выражение (2) – это система, содержащая n уравнений, в которых (m+1)*n неизвестных в виде значений y_i и его производных.

Путем применения формул конечной записи производных (2) приводится к неизвестным одного типа – дискретным значениям y_i искомой функции.

В итоге получится система из n алгебраических уравнений, общий вид выражения для каждого из них записывается

, (3)

Нетрудно видеть, что при использовании центрально-разностных формул левая часть системы (3) будет содержать дискретные значения y_i искомой функции не только в реальных расчетных сечениях i=1, 2,…n, но и в ряде фиктивных сечений i=…-1,0 и i=n+1, n+2… за пределами конструкции , причем таких значений тем больше, чем выше порядок старшей производной m уравнения (1).

Поэтому число уравнений в системе (3) меньше числа неизвестных. Недостающие уравнения поставляют краевые условия. Применяя в них конечную запись производных, будем иметь дополнительную систему уравнений

. (4)

Фактически существует два способа получения системы уравнений.

1. Решая совместно (3) и (4), получим все искомые y_i. В центрально-разностных формулах посредством краевых условий значения в фиктивных точках выражают через значения в действительных точках.

2. Применяют по концам области определения соответственно левую и правую разности, выраженные с учетом краевых условий.

Первый способ предпочтительнее по точности.

Решение по МКР на примере растянуто-изогнутого стержня на 2-х опорах.

Стержень переменного по длине сечения загружен произвольной поперечной нагрузкой и сосредоточенной продольной силой S. Краевая задача для такого стержня описывается ДУ

(5)

и краевыми условиями

y(0) = 0 и y(l) = 0, (6)

где y=y(x) – искомая функция прогиба стержня;

EJ(x) – известная функция переменной по длине жесткости на изгиб;

M(x) – функция изгибающего момента от поперечной нагрузки;

S – продольная сила.

Решение можно организовать двумя способами.

1. Использование только конечно-разностной схемы. Выбираем по длине стержня расчетные сечения с шагом . При этом старшая производная – вторая. Следует слева и справа ввести по фиктивному сечению i=0 и i=n+1. Запишем соотношения (5) и (6) в выбранных дискретных сечениях x=x_i:

Матричная форма записи конечно-разностных соотношений

С увеличением числа расчетных сечений и, следовательно, числа алгебраических уравнений в МКР решение системы можно проводить только на ЭВМ. Однако, ее использование только на этапе решения системы не рационально, так как этап формирования этой системы итерации остается выполняемым «вручную». Для решения этой проблемы применяется матричный аппарат.

Формирование системы и ее решение по МКР сводится в этом случае к стандартному формированию матриц и операциям над ними.

Для примера представим в матричном виде ОДУ для растянуто-изгибаемого стержня, где его общий вид и краевые условия

(1)

В начале представим в матричном виде выражения для производных. Очевидно, что если взять для примера центрально-разностные соотношения, записанные для всех расчетных сечений i=1, 2, … , n, то будем иметь

, (2)

где векторы-столбцы

(3)

имеют соответственно порядок n и n+2, а числовая прямоугольная матрица имеет порядок n строк на n+2 столбцов.

, (4)

где матрица называется первой дифференцирующей матрицей.

Аналогично система центрально-разностных соотношений для второй производной, записанных для всех расчетных сечений i=1, 2, … , n в матричной форме имеет вид

, (5)

где и аналогичны (3), а вторая дифференцирующая матрица выглядит следующим образом

. (6)

Аналогично можно представить дифференцирующие матрицы третьей и четвертой производных, но их порядок будет другим. Например, для четвертой производной: n*(n+4).

Операции с матрицами облегчаются, если их прямоугольный вид преобразуется к квадратному. Реализовать это можно двумя способами, в том числе, используя для крайних сечений левые и правые конечные разности.

Таким образом, запишем (1) в матричном виде

, (7)

где – диагональная матрица значений EJ в расчетных сечениях;

– «расширенная» матрица порядка n*(n+2), полученная из диагональной матрицы путем формального добавления к ней справа и слева двух нулевых столбцов.

Более компактно (7) записывается в виде

, (8)

где .

Обратить не удастся, т.к. она прямоугольная. Для преобразования ее к квадратной необходимо добавить краевые условия (1).

Таким образом, имеем

,

где получена из путем добавления соответствующих первой и последней строк;

получена из путем добавления нулей в качестве первого и последнего элементов.

, (9)

. (10)

Решение имеем в виде

. (11)

Для определения величины моментов в каждом расчетном сечении, по известному соотношению

, (12)

на основании решения (11) получим выражение

.

Особенностью представленных матриц является то, что большая часть их элементов равна нулю. Такие матрицы называются разреженными (или редкозаполненными) и представляют собой частный случай так называемых ленточных матриц, ненулевые члены которых располагаются как бы на ленте небольшой ширины вокруг главной диагонали.

Существуют особые приемы работы с такими матрицами, позволяющие в значительной степени экономить память ЭВМ.

Интерполирование функций.

Интерполированием называют приближенное представление искомой неизвестной функции на основе какой-либо известной функции (чаще всего полинома) через значения искомой функции в ее расчетных сечениях (узлах).

Существует три типа интерполяции: сквозная, кусочная и скользящая.

Сквозная состоит в замене неизвестной функции одной y(x) кривой f(x) на всем интервале ее изменения. Эта кривая подбирается из условия y_i = y(x_i) = f(x_i), где i=1, 2, … , n. В этом случае, как правило, аппроксимирующая функция строится на основе полиномиального ряда (Тейлора, Фурь и т.д.), где его порядок не должен быть меньше n–1. Сквозная интерполяция обеспечивает непрерывность функции, но приводит к сложным выражениям для интегралов, так как в каждой точке они выражаются через значения y_i во всех расчетных сечениях интервала.

При кусочной интерполяции аппроксимирующая функция определена только в данной подобласти (интервале) , следовательно, может иметь несложный вид. Однако, при этом не обеспечивается непрерывность функции, т.к. в местах сочленения кривых они терпят разрыв. На такой интерполяции основаны формула трапеций, метод Симпсона, МКЭ.

Скользящая интерполяция состоит в замене неизвестной функции серией перекрывающих друг друга несложных кривых. Все они точно проходят через значения этой функции в нескольких соседних расчетных сечениях. При этом они представляю собой один и тот же вид кривой (например полином одной степени), которая как бы «скользит» вдоль аппроксимируемой функции.

Приведем несколько интерполяционных функций (полиномов) при скользящей интерполяции. Общий вид полиномиальной функции представлен в виде

, (1)

которая в ряде расчетных сечений в окрестности точки i равна значениям в них искомой функции, т.е.

, p = …, i–1, i, i+1, … (2)

Количество необходимых условий (2) определяется порядком аппроксимирующего полинома и равно m+1. Простейший вид полинома линейный, когда m=1

. (3)

Условий (2) здесь необходимо только два, в качестве их возьмем

, . (4)

Здесь для примера принято, что номер i участка определяется номером расчетного сечения, ограничивающего его справа. Подставляя (3) в (4) находим a₀ = y_i, a₁ = (y_i – y_i-1)/n и, следовательно,

. (5)

Очевидно, что интерполяция отрезками прямых (5) приводит к аппроксимации y(x) ломаной линией, т.е. для ее производной в расчетных сечениях будут иметь место разрывы.

Чаще всего, например, в методе конечных сумм, используется интерполяция полиномом третьей степени, когда m=3, тогда аппроксимирующий полином имеет вид

. (6)

Условий (2) для него необходимо уже четыре, и удобнее их записать для расчетных сечений, симметрично расположенных относительно участка с номером i, т.е.

; ; ; . (7)

Подставляя (6) в (7), найдем

;

;

;

,

а следовательно, получим

. (8)

Аналогично можно построить интерполирующий полином сколь угодно большой степени m.