Методы синтеза КИХ-фильтров

Метод инвариантной импульсной характеристикой

Известно, что описание аналогового фильтра во временной области, устанавливающее связь входного и выходного сигналов, имеет вид свертки:

(9)

В цифровых фильтрах это соотношение имеет вид дискретной свертки:

(10)

Метод инвариантной импульсной характеристики заключается в том, что алгоритм цифровой фильтрации формируется как алгоритм приближенного вычисления непрерывной свертки в виде интегральной суммы:

(11)

Эквивалентность (10) и (11) имеет место при условии, что импульсная переходная функция цифрового фильтра w_d(n) совпадает с точностью до постоянного множителя с дискретными отсчетами импульсной переходной функции аналогового прототипа w(nT_d):

.

Рассмотрим задачу синтеза на примере передаточной функции с простыми полюсами.В этом случае передаточную функцию (1) можно представить в виде суммы элементарных слагаемых:

.

Тогда для импульсной переходной функции получим следующее:

.

При данном методе синтеза импульсная переходная функция цифрового фильтра определяется через дискретные значения импульсной переходной функции аналогового прототипа:

.

Передаточная функция цифрового фильтра при этом будет определяться через прямое Z-преобразование импульсной переходной функции:

.

Как видим, каждое элементарное слагаемое передаточной функции непрерывного аналогового фильтра с полюсом p_k=a_k+ jw_k преобразуется в соответствующее слагаемое передаточной функции цифрового фильтра с полюсом:

,

а устойчивый полюс аналогового фильтра (a_k <0) из правой полуплоскости комплексной p-плоскости переходит в устойчивый полюс цифрового фильтра (|z_k |=exp(a_k T_d )<1) внутри единичной окружности на комплексной плоскости z-плоскости.

Полученная форма передаточной функции соответствует параллельной структурной схеме (рис. 3.10) цифрового фильтра.

В этой схеме каждое из Р параллельных звеньев первого порядка реализует один полюс передаточной функции z_k,q=1,2,…K, а выходной сигнал фильтра формируется как взвешенная сумма выходных сигналов отдельных звеньев. Приведя отдельные слагаемые передаточной функции к общему знаменателю, можно получить и прямую форму структуры цифрового фильтра.

Рис. 3.10