Метод билинейного преобразования

Метод билинейного преобразования обеспечивает более корректную замену операции дифференцирования дискретным эквивалентом. При использовании метода Эйлера большую погрешность имеет фазовая характеристика (рис. 3.7). Это связано с тем, что приближенное значение производной v(n) отнесено к концу текущего интервала дискретизации (к моменту nT_d):

а не к его середине, т.е. к моменту (n-1/2)T_d, что невозможно в виду дискретности времени. Такая задержка и вносит фазовую погрешность. Так как полуцелые значения дискретного времени исключены, то устранить задержку можно, приравняв отношение дискретной разности отсчетов сигнала к интервалу дискретизации к полусумме значений приближенной производной в двух смежных дискретных точках nT_d и (n-1)T_d , т.е.

Следовательно, текущее значение дискретной производной v(n)вычисляется с учетом его предыдущего значения v(n-1)

Этому разностному уравнению дискретного дифференциатора соответствует следующие передаточная функция, амплитудно-частотная характеристики:

Показанная на рис. 3.8б ФЧХ дискретного дифференциатора (сплошная линия) в данном случае полностью совпадает с ФЧХ идеального дифференциатора (пунктирная линия) в полосе частот от f_d/2 и +f_d/2. АЧХ дискретного эквивалента, показанная на рис. 3.8а сплошной линией, в этой полосе низких частот также дает удовлетворительное совпадение с АЧХ идеального дифференциатора (пунктирная линия).

p/2 -p/2

-f_d/2 0 f_d/2 -f_d/2 0 f_d/2

Рис. 3.8

Отметим еще одно важное свойство билинейного преобразования. В результате этого преобразования происходит замена аргумента частотной характеристики аналогового фильтра f_a на f, связанной с f_a следующим соотношением:

, ,

т.е. при билинейном преобразовании происходит сжатие оси частот таким образом, что значения передаточной функции цифрового фильтра повторяют значения передаточной функции аналогового прототипа в деформированной частотной шкале:

Когда аргумента передаточной функции аналогового прототипа f_a изменяется в пределах от -¥ до +¥, аргумент передаточной функции цифрового фильтра f изменяется от -f_d/2 до f_d/2. Для низких частот ½f½<<f_d/2 эта деформация невелика (f»f_a).Поэтому частотные характеристики цифрового и аналогового фильтров в этой области практически совпадают:

Для более высоких частот деформация уже играет определенную роль, а для частот f=±f_d/2 имеет место предельное соотношение:

-f_d -f_d /2 0 f_d/2 f_d -f_d -f_d /2 0 f_d/2 f_d

которое показывает, что бесконечная область определения частотной характеристики аналогового прототипа ±¥ сжимается при билинейном преобразовании до конечного интервала частот ±f_d/2 и далее периодически повторяется с периодом f_d . Это свойство метода билинейного преобразования иллюстрируется на рис. 3.9. На рис. 3.9а показана деформация частотной шкалы f_a=y(f), а на рис. 3.9б – АЧХ цифрового фильтра (сплошная линия) и АЧХ аналогового прототипа (пунктирная линия).

8 f_d -8 f_d

Рис. 3.9

Теперь, выполнив в передаточной функции аналогового прототипа (1) замену по методу билинейного преобразования:

получим передаточную функцию цифрового фильтра:

где коэффициенты полиномов A(z) и B(z) определяются следующим соотношениями:

Таким образом, метод билинейного преобразования, как и метод Эйлера, приводит к дробно-рациональной передаточной функции цифрового фильтра. Отличие заключается в значениях коэффициентов полиномов дробно-рациональной функции.