Метод Эйлера

Метод Эйлера заключается в том, что производная непрерывных функций в дифференциальном уравнении аналогового прототипа (1) заменяется отношением конечных приращений функции и аргумента:

, ,

что соответствует замене оператора дифференцирования p в передаточной функции (2) на следующее выражение:

, (3)

где z^-1 - оператор задержки отсчета сигнала на один интервал дискретизации T_d.В результате такой замены получим передаточную функцию цифрового фильтра:

Окончательно имеем:

. (4)

где полиномы передаточной функции и их коэффициенты определяются следующими выражениями:

Таким образом, задача синтеза цифрового фильтра решена. По известной передаточной функции аналогового прототипа и ее параметрам (коэффициентам полиномов a_k и b,(k=0,1,...K))мы можем найти передаточную функцию цифрового фильтра (4) и ее параметры (коэффициенты полиномов числителя и знаменателя A_k и B_k (k=0,1,...K)).

Теперь необходимо построить алгоритм работы фильтра. Передаточная функция цифрового фильтра определяет отношение Z-преобразований выходного V(z) и входного U(z) сигналов фильтра:

.

Преобразуя это соотношение, получим уравнение:

.

Умножение Z-преобразования дискретного сигналана z^-q означает задержку этих сигналов на q отсчетов (U(z)∙z^-q ÷ u(n-q)). Учитывая это, можем получить разностное уравнение:

. (5)

Данное уравнение можно разрешить относительно текущего отсчета выходного сигнала v(n):

. (6)

В таком виде оно определяет алгоритм цифровой фильтрации, т.е. показывает, каким образом можно вычислить текущее значение выходного сигнала фильтра v(п) по текущему значению входного сигнала u(п) и по предшествующим отсчетам входного u(п-q) и выходного v(п-q) сигналов (q=1,2,...K), хранимых в запоминающем устройстве. Этому алгоритму соответствует структурная схема прямой формы реализации цифрового фильтра (рис. 3.5), наглядно определяющая порядок действий по вычислению выходного сигнала фильтра.

Таким образом, в результате синтеза построена дробно‑ра-циональная передаточная функция цифрового фильтра (4) и алгоритм цифровой фильтрации (6).

Рис. 3.5

Если передаточная функция имеет простые полюса a_k, k=1,2,...,K, то, используя метод неопределенных коэффициентов, ее можно разложить на простейшие дроби:

.

Импульсная переходная функция цифрового фильтра, определяемая как обратное Z-преобразование передаточной функции, будет в данном случае представлять собой сумму дискретных экспонент:

и иметь бесконечную протяженность от нуля до бесконечности. В случае кратных полюсов импульсная переходная функция будет опять же состоять из бесконечно протяженных компонент, представляющих собой произведения затухающей дискретной экспоненты и дискретных полиномиальных функций от номеров отсчетов (дискретного времени):

, n=0,1,2 …

Бесконечность импульсной переходной функции определяет название данного типа цифровых фильтров: БИХ-фильтры.

Чтобы найти частотные характеристики аналогового прототипа и его цифрового эквивалента, необходимо выполнить в передаточных функциях (1) и (4) замену аргумента: оператора дифференцирования р=jи оператора задержки z^-1=exp(-jwT_d). При этом зависимость модуля передаточной функции ½W(j)½и ½W_d(ехр(jwТ_d)½от частоты определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) фильтра, а зависимость аргумента от частоты (w)=аrg(W(jw)) и (w)=аrg(W_d(ехр(jwT_d)) – фазо‑частот-ную характеристику (ФЧХ). Передаточная функция аналогового прототипа W(jw) определена на всей оси частот от -¥ до +¥ . Передаточная функция цифрового фильтра W_d(z) является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации, так как её аргумент z=exp(jwТ_d) (оператор временного сдвига) является периодической функцией частоты. Это положение иллюстрируется графиками на рис. 3.6. На рис. 3.6а показана АЧХ аналогового прототипа ½W(jw)½, на рис. 3.6б - передаточная функция цифрового фильтра½W(ехр(jwТ_d))½.

Рис. 3.6

Периодичность частотных характеристик цифровых фильтров обусловлена дискретностью и является их принципиальной особенностью, которая играет существенную роль при решении практических задач обработки сигналов. В методе Эйлера используется простейший дискретный эквивалент операции дифференцирования. Оценим, насколько корректно его применение. Идеальное дифференцирующее устройство имеет следующую передаточную функцию, амплитудно-частотную и фaзо‑час-тотную характеристики:

Передаточную функцию, амплитудно-частотную и фазо‑час-тотную характеристики дискретного дифференциатора можно представить следующим образом:

Эти характеристики показаны на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Из графиков следует, что в узкой области низких частот АЧХ и ФЧХ дискретного дифференциатора, показанные на рис. 3.7 сплошными линиями, близки к АЧХ и ФЧХ идеального дифференциатора (пунктирные линии). С увеличением частоты расхождение быстро увеличивается, особенно для фазовых характеристик. Следовательно, применение метода Эйлера оправдано, когда возможно обеспечить многократное превышение частоты дискретизации по отношению к полосе пропускания фильтра