Фильтрация сигналов, при которой осуществляется селекция полезных составляющих сигнала и подавление других его компонент (помех), является одной из основных задач обработки сигналов. Цифровые фильтры обладают целым рядом преимуществ по сравнению с аналоговыми фильтрами. Прежде всего, это стабильность, гарантированная точность и идентичность, возможность оперативной программной перестройки структуры и параметров фильтров. Эти свойства в сочетании с возможностями современной схемотехнической технологии обусловливает широкое применение цифровых фильтров при решении разнообразных прикладных задач.
Выбор типа, структуры и параметров фильтра определяется целями, поставленными при обработке сигналов в условиях конкретной практической задачи. Обычно требования к фильтрам формируются при анализе спектрального состава мешающих помех и полезного сигнала, содержащего необходимую информацию. Фильтр должен обеспечить максимально возможное подавление спектральных компонент помехи при минимально допустимых динамических искажениях полезного сигнала.
На рис. 3.1 и 2 в качестве примера фильтрации приведены временные и спектральные диаграммы сигналов и помех.
г)
б)
в)
а)
Рис. 3.1
В этом достаточно типичном случае полезный сигнал s(t) (показан рис. 3. 3.1 а, его спектр S(f) – рис. 3. 3.1 в) представляет собой сравнительно низкочастотный процесс (ниже 1 кГц). На него наложены высокочастотные пульсации с частотой 2 кГц и шумовые помехи r(t) – рис. 3. 3.1 б (спектр помехи R(f) – рис. 3. 3.1 г). Практически для обработки доступна только сумма полезного сигнала и помехи u(t)=s(t)+r(t) (суммарный сигнал показан на рис. 3. 3.2 а, а его спектр U(f) – на рис. 3.2 в).
в)
г)
а)
б)
Рис. 3.2
Чтобы выделить полезный низкочастотный сигнал из смеси сигнала и помехи, необходимо использовать фильтр нижних частот (ФНЧ) с соответствующей полосой пропускания. Амплитудно-частотная характеристика используемого фильтра показана пунктиром на рис. 3.2 в.
Как видно из временных диаграмм выходного сигнала фильтра v(t) – рис. 3.2 б и его спектра V(f) – рис. 3.2 г, фильтр нижних частот пропускает полезный сигнала s(t) (на рис. 3.2 б показан пунктирной линией) и существенно ослабляет помеху. Полезный сигнал при этом также несколько искажается.
Таким образом, можно выбирать гипотетический фильтр, который называют аналоговым прототипом синтезируемого цифрового фильтра. Его характеристики, задаваемые обычно в виде дробно-рациональной передаточной функции или частотных и временных характеристик, представляют собой исходные данные для задачи синтеза цифрового фильтра (p – оператор дифференцирования):
, (1)
Задача синтеза цифрового фильтра заключается в определении передаточной функции цифрового фильтра, эквивалентного аналоговому прототипу, в расчете его параметров и в разработке алгоритма цифровой фильтрации.
Цифровые фильтры имеют ряд принципиальных отличий от аналоговых, связанных с тем обстоятельством, что входной и выходной сигналы аналоговых фильтров u(t) и v(t) являются непрерывными функциями времени (например, изменяющимся во времени напряжением), а сигналы цифровых фильтров u(n) и v(n) представляют собой дискретные последовательности чисел. На рис. 3.3 показаны графики входного и выходного сигналов аналогового фильтра u(t) и v(t) (рис. 3.3 а и в) и цифрового фильтра u(n) и v(n) (рис. 3.3 б и г).
Ясно, что дискретность по времени цифровых сигналов в принципе исключает возможность полного совпадения характеристик цифрового фильтра и аналогового прототипа. При цифровой фильтрации непрерывный по времени аналоговый сигнал с помощью аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) заменяется числовой последовательностью дискретных отсчетованалогового сигнала, взятых через интервал дискретизации Td, ud(n)= =u(nTd), n=1,2,…
а)
г)
б)
в)
Рис. 3.3
Цель синтеза цифрового фильтра заключается в том, чтобы цифровой тракт (аналого-цифровой преобразователь и цифровой фильтр) вырабатывал для заданного класса аналоговых входных сигналов u(t) последовательность числовых отсчетов v(n), совпадающих с гарантированной точностью с дискретными значениями выходного сигнала гипотетического аналогового фильтра‑прототипа v(t).Следовательно, цифровой тракт следует проектировать таким образом, чтобы показанные на рис. 3.4 аналоговый и цифровой тракты вырабатывали одинаковые сигналы vd(n)»v(nTd).
Рис. 3.4
Первое необходимое условие эквивалентности цифрового фильтра и аналогового прототипа – это рациональный выбор интервала дискретизации. Интервал дискретизации Td (частота дискретизации fd=1/Td) для сигналов с ограниченной шириной их спектра должен выбираться в соответствии с теоремой Котельникова
,
где =2pfт, - ширина спектра сигнала и(t), fd - частота дискретизации. Реально частоту дискретизации выбирают в 5-10 раз больше ширины спектра аналогового сигнала:
fd=(5–10)fm.
Аргумент p передаточной функции (1) аналогового прототипа представляет собой оператор дифференцирования: p=d/dt, а сама передаточная функция определяет дифференциальное уравнение аналогового фильтра
. (2)
Однако дифференцировать можно только непрерывные функции, а для дискретных числовых последовательностей операция дифференцирования не определена. Следовательно, цифровые фильтры в отличие от аналоговых фильтров не могут иметь математическую модель в виде дифференциального уравнения. Смысл практически всех методов синтеза цифровых фильтров сводится к замене операции дифференцирования некоторым дискретным эквивалентом.
Среди цифровых фильтров выделен класс БИХ-фильтров, т.е. фильтров с бесконечно протяженной импульсной переходной функцией. В лабораторной работе изучаются основные методы синтеза цифровых фильтров данного типа.
.
.
.
, (1)
,
=2pfт, - ширина спектра сигнала и(t), fd - частота дискретизации. Реально частоту дискретизации выбирают в 5-10 раз больше ширины спектра аналогового сигнала:
. (2)