Интеграл Фурье для дискретных сигналов. Z-преобразование

Ряд Фурье для дискретных сигналов. Дискретное преобразование Фурье

Дискретный периодический сигнал (рисунок 2.4) должен удовлетворять следующему функциональному уравнению

,

где N – дискретный период (период в числе отсчетов), T= NT_d= N/f_d – период в длине временного интервала, f₀=1/T=f_d/N – частота дискретного периодического сигнала (частота первой гармоники).

Рисунок 2.4

Если не периодический дискретный сигнал задан на конечном числе отсчетов N, то его можно периодически продолжить на всю дискретную ось от -¥ до +¥.

Такие сигналы можно разложить, как и непрерывные периодические сигналы, в ряд Фурье. Отличие ряда Фурье для дискретного случая заключается в том, что число гармоник дискретного сигнала должно быть конечным вследствие эффекта "маскировки" высших гармоник. Обычно выбирают диапазон частот [0, f_d). На этом диапазоне укладывается N гармонических составляющих с частотами nf_d/N, n=0,1,...N. В таком случае для дискретного сигнала ряд Фурье можно записать в следующем виде

.

Коэффициенты ряда Фурье можно определить из условия минимума среднеквадратичной погрешности

.

Необходимым условием минимума являются следующие уравнения

.

После ряда преобразований получим следующее

,

,

.

Сумму комплексных экспонент можно рассчитать как сумму членов геометрической прогрессии

.

Тогда окончательно получим

.

Дискретный ряд Фурье и формулу коэффициентов ряда принято записывать следующем виде

Эту пару выражений называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Как и в случае непрерывных сигналов, разложение по гармоникам для не периодического сигнала можно получить предельным переходом, устремив период к бесконечности. В этом случае дискретное преобразование Фурье переходит в Z-преобразование. Опуская математические выкладки, приведем окончательный результат

Аргумент Z-преобразования в частотной области можно записать как , т.е. z^-1 представляет собой оператор единичной задержки дискретного сигнала на один отсчет (на интервал дискретизации T_d). При такой замене U(z) дает нам спектральную плотность дискретного сигнала.