Пример функции, имеющей предел в точке, но не имеющей в этой точке повторных пределов.

Пример функции, имеющей в точке оба повторных предела, равных между собой, но не имеющей предела в этой точке.

Рассмотрим вот такую функцию и точку O(0; 0).

Действительно, и аналогично второй повторный предел также равен 0.

Но при этом функция не имеет предела в точке O(0; 0). Действительно, если бы был предел, равный A, то все пределы по направлениям были бы равны A. Найдем пределы по направлениям (1; 1) и (1; -1).

.

.

Пределы по этим двум направлениям не равны, следовательно, функция не имеет предела в точке O.

4. И наоборот, даже столь сильное условие, как существование предела в точке не гарантирует существование повторных пределов.

.

Действительно,
.

Каждый из двух последних пределов равен 0, потому что под знаком предела стоит произведение бесконечно малой функции (x) на ограниченную ().
Аналогично распишем повторный предел:

.

Здесь второй предел равен 0 (произведение бесконечно малой на ограниченную), а первый не существует, поскольку не существует предела синуса на бесконечности. Значит, повторный предел не существует.

Разумеется, точно так же не существует и другой повторный предел.

Непрерывность.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если существует и этот предел равен значению функции в точке M:

. (*)

Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

С практической точки зрения непрерывность функции двух переменных на множестве означает, что ее график представляет из себя поверхность без "разрывов", "дыр", "скачков" - подберите сами подходящее слово для поверхностей, изображенных на рисунке.

Конечно, рисунки не исчерпывают всех возможных видов разрывов функции двух переменных. Скажем, поведение в окрестности нуля графика уже встречавшейся нам функции вообще затруднительно изобразить на рисунке: пределы по разным направлениям в нуле могут равняться любым числам (и все это в окрестности одной точки!)

Вопрос. Сколько точек разрыва имеет функция ?