Ecли функция двух переменных имеет предел, то она имеет пределы по всем направлениям и вдоль всех непрерывных кривых.

Разберемся теперь, как связаны между собой предел функции, пределы по направлениям, пределы вдоль кривых и повторные пределы.

Теперь про еще один вид пределов - повторные.

Раз бывают пределы вдоль направлений (прямых), то бывают пределы и вдоль кривых.

Пусть задана некоторая непрерывная кривая и пусть (это условие означает, что точка лежит на кривой).

Определение. Пределом функции в точке вдоль кривой называется предел .

Обозначение: .

Пример. Найдем пределы функции в точке O вдоль кривых и . Обе они проходят через точку O (см. рис.)

.

Теперь для другой кривой:

.

Удивительное дело! В обоих случаях точка N стремится к точке M, только разными дорогами, а результаты столь сильно отличаются. Выбирая средства, Вы выбираете цель!

Следующую задачу решите самостоятельно.

Оказывается, ситуация, когда x и у одновременно стремятся к некоторым значениям, вовсе не аналогична ситуации, когда сначала x стремится к этому значению, а затем y.

Повторные пределы функции в точке - это

и

При вычислении "внутреннего" предела не задействованная в нем переменная считается параметром (числом), не равным предельному значению.

Например, вспомним все ту же функцию и найдем ее повторные пределы в точке (0; 0).

.

И другой,

.

Теперь попробуйте сами.

1. Если функция имеет предел в точке, равный A, то она имеет пределы вдоль всех направлений, по всем непрерывным кривым в этой точке и все они равны A.

Доказательство. Для простоты рассуждения будем считать, что точка M имеет координаты (0; 0).

Итак, пусть - функция, определенная в некоторой окрестности точки и пусть .

Рассмотрим непрерывную кривую, задаваемую уравнением и проходящую через точку M, т.е. .

Нам нужно доказать, что , т.е, что для любого существует такое , что как только для некоторого x выполняется , так сразу .

Зафиксируем произвольное . Поскольку , то существует такое , что, если для некоторой точки выполняется , то . (*)

Попробуем обеспечить выполнение неравенства .

.

Рассмотрим число . В силу непрерывности функции в точке (0; 0), существует такое , что, если для некоторого x выполняется , то для значения функции в этой точке выполняется .

Далее, обозначим за минимальное из чисел и и пусть . Тогда и и

.

А значит, в силу (*) . Доказано.

Геометрический смысл этого доказательства в том, что непрерывная в точке M кривая, начиная с некоторого "места" лежит полностью в любой заранее определенной окрестности точки M. Поэтому значения функции fв точках этой кривой находятся там, где им и полагается - в окрестности значения предела A.

2. Но может случиться так, что функция имеет пределы по всем направлениям (даже равные между собой), вдоль всех кривых в некоторой точке, но не имеет предела в этой точке.

3. Наличие обоих повторных пределов, даже равных между собой, не гарантирует существование предела функции, пределов по направлениям и вдоль кривых.