Другие пределы.

Может случиться так, что функция не имеет предела в точке .

Например, функция не имеет предела в точке O(0; 0).

Почему нет предела?

Предела у функции в точке O нет вот по какой причине.

Рассмотрим любую сколь угодно малую окрестность точки O. Например, окрестность радиуса 0,01, изображенная на рисунке, достаточно малая?

Рассмотрим в этой окрестности точку M, у которой координата y в 2 раза больше координаты x. Подойдет, скажем, точка с координатами (0,0001; 0,0002) [или такая (0,0002; 0,0004), или сами еще придумайте...].

Значение функции в этой точке равно .

Далее, рассмотрим точку N, у которой обе координаты равны. Например, это может быть точка с координатами (-0,0001; -0,0001). Найдем значение функции в этой точке.

.

Т.о., сколь угодно близко от точки O имеются точки (и их много!), значения функции в которых равны 2 и 3. А наличие предела означает существование окрестности, в которой значения во всех точках отличаются от предела на любую малую величину. Разве существует такое число (предел), от которого числа 2 и 3 одновременно отличаются не более, чем на (например) 0,3?

Это же рассуждение можно провести немного по-другому.

.

Очевидно, что дробь может быть равна любому наперед заданному значению. Т.е., какое бы число мы ни взяли, найдутся такие xи y, что дробь будет равна этому числу. Если теперь уменьшить x и y одновременно в одно и то же количество раз, то дробь не изменится. Т.о., сколь угодно близко от 0 можно найти такие x и y, при которых функция z будет иметь любое значение. О каком пределе может идти речь?

Вопрос. Верно ли, что в любой окрестности 0 найдутся точки, значения в которых равны -10?

Вспомним кое-что из первого семестра.

Как известно из курса аналитической геометрии, параметрические уравнения задают на плоскости прямую с направляющим вектором (см. рис.)

Если точка N лежит на этой прямой, то она имеет координаты при некотором значении t. Точка M также лежит на этой прямой и ее координаты (x₀; y₀) соответствуют значению t=0.

Вопрос. Лежит ли точка M(-3; -1) на прямой ? Если да, то укажите значение параметра t, соответствующее этой точке. Если, по Вашему мнению, точка не лежит на прямой, напишите в ответе "нет".

-2

Пределы по направлениям.

Итак, некоторые функции не имеют предела в некоторых точках.

Тем не менее, хотелось бы как-нибудь описать их поведение в окрестности этих точек. Для этого будем рассматривать другие пределы.

Определение. Пусть - некоторый вектор. Пределом функции в точке по направлению вектора называется .

Обозначение: .

При точка на прямой стремится к точке . Т.е., опять же и , но не как попало, а вдоль указанной прямой.

Оказывается, функция может не иметь предела в точке , но иметь пределы по направлениям в этой точке.

Например, функция не имеет предела в точке O(0; 0), но имеет пределы по всем направлениям. Вычислим предел этой функции по направлению .

.

Оказывается, что пределы этой функции по разным направлениям (но в одной точке) могут быть разными!