Свойства пределов.

Свойства предела функции двух переменных аналогичны свойствам предела функции одной переменной. Перечислим их.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

2. Предел суммы равен сумме пределов (при условии, что оба предела в правой части существуют и не возникает неопределенность при их сложении).

.

3. Знак непрерывной функции и знак предела можно поменять местами: если - непрерывная функция, то .

В частности,

,

,

,

и т.п.

Напомним, что бесконечно малой функцией в окрестности некоторой точки называется функция, предел которой в этой точке равен 0. Функция называется ограниченной на некотором множестве, если для всех аргументов из этого множества значение функции не превосходит некоторого числа.

4. Произведение бесконечно малой функции (в некоторой точке) на ограниченную в этой точке есть бесконечно малая (в той же точке, разумеется).

Т.е., если и для всех (x; y) из некоторой окрестности точки (B - константа), то .

Известно, что Вы не любите доказательства. Но все же придется выбрать одно из свойств и разобраться в его доказательстве. А потом еще на вопрос ответить. Выбор за Вами.

Докажем свойство 2: предел суммы равен сумме пределов.
Пусть существуют пределы и , равные соответственно A иB.
Зафиксируем некоторое и рассмотрим число . Тогда, по определению предела, существуют такие числа и , что
во первых, при и выполняется неравенство ;
во вторых, при и выполняется неравенство .
Рассмотрим , равное минимальному из чисел и . Тогда, если , то одновременно выполняется, что и . Поэтому для одновременно выполняются оба неравенства и
Тогда, при и можно написать .
По определению предела это означает, что . Доказано.

Теперь ответьте на вопрос. Пусть для любого существует такое , что при всех и выполняется . Известно также, что . Чему тогда равен ?

Ваш ответ :

Угадали. Идем дальше...