Линии уровня.

Линиями уровня функции называются графики уравнений на плоскости xOy.

Графически это можно себе представить следующим образом. Поверхность рассекается плоскостью, параллельной xOy,и полученное сечение проецируется на плоскость xOy . Во всех точках одной линии уровня функции принимает одно и то же значение а. Другие линии уровня дают другие значения функции.

По линиям уровня можно схематично представить себе поверхность. Например, на рисунке изображены четыре линии уровня некоторой поверхности и подписаны соответствующие значения a . Как может выглядеть поверхность?

Ваш ответ :

конус
эллиптический параболоид

однополостной гиперболоид

Правильно!

Примеры функций нескольких переменных.

Аналогично может быть определена функция трех (и даже четырех, пяти,...) переменных. Вы сталкивались с такими функциями в школьном курсе математики и физики.

Например, функция двух переменных представляет из себя зависимость кинетической энергии (результата) от массы тела и его скорости (аргументов).

Функция трех переменных задает зависимость (результата) объема прямоугольного параллелепипеда от его длины, ширины и высоты (аргументов) .

Ответьте на вопрос. Каких аргументов достаточно, чтобы определить функцию, задающую площадь треугольника?

	, - стороны треугольника и -угол между ними.
	, - стороны треугольника.
	- три стороны треугольника.
	- три угла треугольника.

Ваш ответ :
, - стороны треугольника и -угол между ними.
- три стороны треугольника.

Правильно!

Окрестность точки.

Прежде чем дать определение предела функции двух переменных, дадим понятие окрестности точки на плоскости.

Пусть функция определена в некотором множестве, содержащем точку .
Определение.Окрестностью точки будем называть любой открытый круг с центром в этой точке. Открытый - значит без граничной окружности (и поэтому она обозначена пунктиром на рисунке).

Окрестность радиуса обозначается и называется -окрестностью точки M.

Вопрос. Пусть дана точка M(-2; 1) на плоскости. Отметьте точки, которые принадлежат ее 3-окрестности.

Может быть, Вы забыли, что граничные точки (точки окружности) не принадлежат окрестности?

Также, на всякий случай, напоминаем формулу для нахождения расстояния между двумя точками :

Вдруг пригодится!

Итак, был такой (или похожий) вопрос.

Какие из указанных точек принадлежат 2-окрестности точки N(-1; 3)?

Предел.

Пусть M(x₀, y₀) - точка на плоскости и пусть функция определена в некоторой окрестности этой точки.

Определение. Число A называют пределом функции в точке M, если для любого положительного можно указать такое положительное число , что как только некая точка N (не совпадающая с M) попадает в -окрестность точки M, так сразу значение функции в точке N попадает в -окрестность числа A.

Т.е., если , то .

Подробнее про этот рисунок...

Дана функция . Ее предел в точке (4; 4) равен 6.

Требуется среди данных точек выбрать все те, для которых значение функции отличается от предела менее, чем на .

При решении задачи воспользуйтесь калькулятором.