В замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции

Условный экстремум

Определение: Условным экстремумом функции называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные хи усвязаны уравнением (уравнением связи).

Отыскание условного экстремума сводят к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа где - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия функции Лагранжа имеют вид:

Из этой системы находят неизвестные x, y, .

Пример 1. Найти экстремум функции при условии, что х и у связаны уравнением .

Решение: Рассмотрим функцию Лагранжа:

Находим

Функция это есть максимум.

Пример 2.Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение: Пусть - катеты, - гипотенузы. По теореме Пифагора Площадь любого прямоугольного треугольника

Т.о., задача сводится к отысканию наименьшего значения функции при условии, что х и у связаны уравнением т.е. Рассмотрим функцию Лагранжа

1)

2)

Т.о., гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты равны между собой.

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой замкнутой области. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение в области надо:

1) Найти стационарные точки и вычислить значения функции в этих точках.

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области.

3) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти точку на плоскости Оху, сумма квадратов расстояний которой до трёх данных точек имеет наименьшее значение и точку в сумма квадратов расстояний которой до вершин имеет наибольшее значение.

Решение: Возьмем на плоскости какую-нибудь точку Тогда

Сумма этих квадратов

1) Наименьшее значение на всей плоскости Оху:

Найдем экстремумы функции z.

существует лишь одна стационарная точка Во всей плоскости функция не имеет наибольшего значения, т.к. ясно, что существуют точки Р, для которых указанная сумма больше наперед заданного числа. А т.к., с другой стороны, очевидно, эта сумма должна достигать наименьшего значения, следовательно, она достигает его в точке

Заметим, что - центр тяжести

2) Точка в области т.к. заданная функция не имеет максимума, ее наибольшим значением в области будет значение на границе, т.е. на сторонах

На стороне

критическая точка и границы интервала .

в точке т.е.

на стороне , и, значит,

Найдем на интервале :

в точках

Итак, имеем две точки в которых функция

Среди всех точек сумма квадратов расстояний этих точек от вершин имеет наибольшее значение.