Экстремумы функций двух переменных

Дифференциал. Частные производные высших порядков

Определение: Дифференциалом дифференцируемой функции в точке М называется главная линейная относительность и часть полного приращения этой функции.

Пусть функция имеет первые частные производные.

Определение: Частные производные от частных производных называются частными производными II порядка от функции в точке М.

Обозначается:

Аналогично определяются и обозначаются производные III и более высокого порядков:

Если первые частные производные непрерывны, то можно вычислить «смешанную» производную: сначала вычисляем частную производную по х, а потом эту производную дифференцируем по у, т.е.

Пример.

Дана:

Найти

Найти вторые частные производные и вторую смешанную частную производную.

Определение: Функция имеет максимум в точке если окрестности точки выполняется неравенство

Функция имеет минимум в точке если окрестности точки выполняется неравенство

Максимум и минимум функции объединены понятием экстремума.

Теорема: (Необходимое условие существования экстремума). Если - дифференцируема и достигает в точке экстремума, то ее частные производные в этой точке равны 0, т.е.

Эти точки называют критическими (стационарными).

Теорема: (Достаточное условие существования экстремума). Пусть - стационарная точка

Находим:

Составляем дискриминант и вычисляем его. Тогда, если:

1) то экстремум есть, причем если тогда имеет минимум, а если (или - максимум.

2) то экстремума нет.

3) то требуются дополнительные исследования.

Пример. Найти экстремум функции

Находим частные производные:

- стационарная точка.

экстремума нет.