Производная по направлению. Градиент

Частные производные функции.

Определение: Частной производной от функции по независимой переменной x называется конечный предел вычисленный при постоянном значении у. Частной производной по у называется конечный предел: вычисленный при постоянном значении х.

Для вычисления данных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

Находим частные производные

Подставим все в уравнение:

Т.е. удовлетворяет уравнению.

Пусть определена в некоторой окрестности точки Пусть вектор - единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящий через точку Выберем на прямой Lточку Рассмотрим приращение функции в точке М.

Определение: Предел отношения если он существует, называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается Если функция имеет в точке М непрерывные частные производные, то в этой точке любая производная по каждому направлению, исходящему из точки и она равна:

где - направляющие косинусы вектора

Пример. Вычислить производную функции в точке в направлении вектора

Решение:

1) Находим единичный вектор

2) Находим частное производные в точке М

Определение: Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке координаты которого равны соответствующим частным производным, вычисленном в точке, т.е.

Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции.

Аналогично, для случая трёх переменных

Пример. Найти

в точке

Решение:

Имеем: