Краевая задача Римана
Дополнение к теореме о вычетах
Если 
имеет конечное число особых точек, то в 
:
Доказательство: имеет конечное число конечных особых точек 
: 
(по 1-й Теореме о вычетах)
+
, ч.т.д.
, где 
- коэффициент при 
при разложении в ряд Лорана в окрестности 
.
Замечание.
В окрестности 
: 
- правильная часть ряда Лорана
- главная часть ряда Лорана
В окрестности 
: - правильная часть ряда Лорана
- главная часть ряда Лорана
- в полюс.
То же самое понятие индекса применяется для функции 
по кривой 
.
Пусть аналитична вне кривой , тогда
Пусть число нулей с учетом кратностей 
, тогда
Если 
Формулировка задачи Римана:
Пусть , 
- функция на (замкнутая).
Требуется найти две аналитических функции
внутри ,
вне
так, чтобы выполнялось:
o Для предельных значений на
o Однородная задача Римана (
)
I шаг. 
, 
(непрерывность по Гёльдеру)
Рассмотрим интеграл Коши
По формулам Сохоцкого
II шаг. Пусть имеем решение однородной задачи
Найдем индексы от обеих частей равенства
1.) 
, предположим, что 
функция 
однозначна, существует 
.
Решим задачу
По формулам Сохоцкого
2.) 
(- неоднозначная функция)
Обозначим 
, тогда
- аналитична внутри, 
- аналитична вне
аналитична во всей плоскости 
, на у неё полюс порядка 
- полином.
