Пусть 
аналитическая функция в окрестности 
, тогда всюду в круге 
равномерно приближается полиномом.
Можно разложить в ряд Тейлора в окрестности
- ряд сходится в круге сходимости 
, 
- ряд сходится в круге 
Поэтому в качестве приближающих полиномов можно взять полиномы Тейлора – частичные суммы ряда Тейлора
Если аналитична в некоторой области 
, то можно ли приблизить нашу функцию полиномами?
Пусть 
- кольцо.
аналитична в , тогда раскладывается в ряд Лорана
Если 
, то слагаемые имеют вид 
- можно ли полиномом приблизить эту функцию?
в кольце не можем приблизить полиномами вида 
, 
Рассмотрим функцию 
на единичной окружности 
.
Требуется найти последовательность полиномов 
так, чтобы 
на 
:
Теорема. Такой последовательности полиномов не существует.
Доказательство: Докажем, что 
, что
Допустим, что такую константу нашли, тогда
Докажем существование константы 
