Интеграл типа Коши

Формула Шварца

Для гармонических функций

Формула Пуассона

Для решения задачи Дирихле:

- граничные значения

Т.к. функция - гармоническая по

- аналитична по в

Восстановление аналитической функции по ее вещественной части

Формула Пуассона:

- аналитическая функция от

- формула Шварца.

- аналитична в , с границей

,

,

Пусть - функция, заданная на границе области , непрерывна

- интеграл типа Коши

Утв. 1. Интеграл типа Коши является аналитической функцией вне .

Доказательство: Покажем, что дифференцируема вне , т.е. показать, что существует предел ,

Формально продифференцируем

- интеграл существует

Значит надо показать, что:

Какой смысл придать выражению?

,

Данный интеграл не существует в обычном смысле

Часть , которая не попадает в круг назовем

Если такого предела нет, то нет и интеграла типа Коши в .

Для каких существует ?

Ответ: достаточно, чтобы была непрерывна по Гёльдеру.

Опр. Функция непрерывна по Гёльдеру с показателем , если

(условие Гёльдера с показателем 1)

.

Если , .

Теорема. Если , то существует интеграл типа Коши , .

Доказательство: Хотим показать, что существует интеграл и на границе

Возьмем кривую , надо доказать, что существует предел (который указан выше)

(- часть окружности , которая не лежит в области )

(применяем формулу Коши к интегралу по )

Докажем, что в обоих интегралах существует предел при .

1) - величина угла, под которым часть окружности видна из точки .

Если - гладкая, то при этот угол стремится к .

2)

Тогда

По признаку Вейерштрасса

Для исходного интеграла имеем

.

Значит