До сих пор мы пытались свести многокритериальную задачу к однокритериальной. Но к анализу многокритериальных задач можно подойти и с других позиций. Можно попытаться сократить множество допустимых решений, то есть исключить из рассмотрения те решения, которые заведомо плохи. один из таких путей предложил в 1904 г. итальянский экономист Парето.
Пусть цель субъекта состоит в максимизации двух функций f(x) и g(x). Только в исключительных случаях максимум двух независимых друг от друга функций достигается в одной точке. Типичная картина имеет следующий вид (рис. 3).
Рис. 3. Максимизация двух функций.
Функция достигает максимума в точке x1, а функция – в точке x1. Из графиков функций видно, что с возрастанием одной функции, другая, как правило, убывает, то есть увеличивая один показатель, мы уменьшаем другой Какое решение будет оптимальным?
Ответить на это вопрос сложно. В данном случае речь идет не о том, как найти оптимальное решение, а о том, что следует понимать под оптимальным решением. Здесь мы сталкиваемся с трудностью не технического, а концептуального характера.
Предположим, что при разработке модели автомобиля нас интересует срок службы uи максимальная скорость v, причем мы хотим максимизировать оба показателя. Мы можем варьировать некоторые технические характеристики автомобиля в заданных границах. При этом каждому фиксированному набору значений этих характеристик соответствует определенное значение срока службы u0и предельной скорости v0. Таким образом, альтернативами являются наборы значений варьируемых характеристик, а исходами – соответствующие им пары чисел (u0, v0). Мы приходим к задаче выбора решения в условиях определенности.
Если изобразить все пары чисел (u0, v0) на плоскости переменных u и v, получим некоторую область D возможных исходов (рис. 4). Принятие решения заключается в выборе конкретной точки области D. Возникает вопрос, какую точку взять в качестве оптимальной?
Рис. 4. Множество возможных исходов.
Пусть мы выбрали точку M0(u0, v0). Построим криволинейный треугольник AM0B. Для любой точки этого треугольника оба показателя u и v будут больше, чем для точки M0. Аналогичное рассуждение применимо к любой точке области D, для которой можно построить такой криволинейный треугольник. Следовательно, при выборе исхода надо ограничиться теми точками области D, для которых построение такого криволинейного треугольника невозможно, то есть теми исходами, для которых невозможно одновременное улучшение обоих показателей. Такие исходы называются оптимальными по Парето или эффективными. Множество всех эффективных точек принадлежит части границы области D, наиболее удаленной от начала координат.
Сравним две эффективные точки M1и M2. Для точки M1 больше показатель u, а для точки M2 – показатель v. Таким образом, эффективные точки являются несравнимыми между собой по предпочтению. Если мы все же хотим их сравнить, то для этого требуется дополнительная информация следующего типа: сколькими единицами выигрыша по одному показателю можно скомпенсировать проигрыш единицы по другому показателю? Принцип Парето не выделяет единственное решение, он только сужает множество альтернатив. Окончательный выбор остается за лицом, принимающим решение. Для окончательного выбора оптимального решения нужна дополнительная информация Рассмотрим способы задания такой дополнительной информации.
1. Упорядочение показателей по важности.
Пусть известно, что показатель v существенно важнее показателя u. В этом случае потерю единицы показателя v нельзя компенсировать никаким увеличением показателя u. Следовательно выбор оптимального исхода нужно производить среди тех исходов, для которых значение показателя v максимально. Они изображены на рисунке жирной линией (рис. 5).
Рис. 5. Множество наилучших исходов.
У всех этих исходов значение показателя vодинаково, поэтому лучшим среди них будет тот, который имеет наибольшее значение показателя u. Ему соответствует точка Mопт.
2. Задание весов относительной важности.
Пусть известно, что один показатель в определенное число раз важнее другого, например, максимальная скорость автомобиля в 2,5 раза важнее его срока службы. Это означает, что потеря пяти единиц времени службы приравнивается к приращению двух единиц скорости. Поэтому на плоскости переменных u и v мы можем отождествить любые две точки M1(u1, v1) и M2(u2, v2) области D, для которых
,
или .
Геометрически это означает, что мы рассматриваем семейство прямых
и считаем равноценными любые два исхода, принадлежащие одной прямой этого семейства (рис. 6).
Рис. 6. Равноценные исходы.
Для двух исходов M1 и M2 лучшим будет тот, который расположен на прямой, более удаленной от начала координат. Оптимальным будет исход, соответствующий точке Mопт. Положение оптимальной точки Mоптзависит от угла наклона прямых, который определяется отношением весов относительной важности показателей.
достигает максимума в точке x1, а функция 
– в точке x1. Из графиков функций видно, что с возрастанием одной функции, другая, как правило, убывает, то есть увеличивая один показатель, мы уменьшаем другой Какое решение будет оптимальным?
,
.
