Введение метрики в пространстве целевых функций

Линейная свертка

Вместо n частных критериев рассматривается один критерий вида

,

где – некоторые положительные числа, удовлетворяющие условию

.

Величина показывает, насколько изменяется целевая функция при изменении на единицу

.

Величины определяются экспертным путем и отражают представления лица, принимающего решение, о важности отдельных критериев.

Предположим, что ограничения, наложенные на выбор компонент вектора , являются линейными

,

так же, как и функции

.

Тогда задача максимизации критерия сводится к следующей задаче линейного программирования.

Найти максимум линейной формы

при ограничениях

.

Предположим, что удалось решить систему однокритериальных задач

и найти в каждой задаче вектор , доставляющий максимум критерию

Совокупность скалярных величин определяет в пространстве критериев точку, которую назовем точкой абсолютного максимума. Если все векторы различны, то невозможно одновременно максимизировать все критерии. Следовательно, точка в пространстве критериев недостижима.

Введем положительно определенную матрицу .

Тогда скалярная величина

определяет в пространстве критериев расстояние от точки, соответствующей данному вектору x, до точки абсолютного максимума.

В частом случае, когда R – единичная матрица,

есть евклидово расстояние от точки до точки абсолютного максимума. Задача сводится к нахождению минимума функции n переменных , то есть такого набора параметров системы, который обеспечивает минимальное расстояние до точки абсолютного максимума в пространстве критериев.