Сравнение бесконечно малых
1). Если
, где c– const, то α (x) и β (x) называются бесконечно малыми одного порядка
2). Если
, где y(x) - бесконечно малая величина, то α (x) называется бесконечно
малой более высокого порядка, чем β (x)
3)Если 
, то α (x) и β (x) называются эквивалентными бесконечно малыми.
Таблица эквивалентностей:
При x → 0
sin x ~x 1 – cos x ~
tg x ~ x ex–1 ~ x
arcsin x ~x (1+ x)p – 1~ px
arctg x ~x
ln (1+ x)~x
~
Основные теоремы о бесконечно больших− б.б
1). Сумма конечного числа абсолютных величин бесконечно больших есть бесконечно большая величина.
|u(x)|+|v(x)|+|ω(x)|. где u(x); v(x); ω(x) - бесконечно большие
u(x) + C − б.б.
Замечание: [∞ − ∞]- неопределённость
2). Произведение бесконечно большой на ограниченную величину есть величина бесконечно большая
z(x) ⋅u(x) − б.б.
Следствие 1: C *u(x) − б.б. , где C – const
Следствие2: Произведение бесконечно большой величины на бесконечно большую есть величина бесконечно большая. u(x) ⋅ v(x)− б.б.
3). Частное от деления бесконечно большой на ограниченную величину, отличную от нуля, есть
величина бесконечно большая.
– б.б. , где z(x) – ограниченная отличная от 0.
Замечание: ⎥⎦
– неопределённость.
Теорема 1:
Предел постоянной равен самой постоянной величине. limC = C
x→ a
Теорема 2:
Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:
lim (u(x)+ v(x) – w(x)) =lim u(x) + lim v(x) – lim w(x)
x→a x→a x→a x→a
Теорема 3:
Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:
lim(u(x) v(x) = (limu(x)) (limv(x))
x→a x→a x→a
Следствие: постоянный множитель выносится за знак предела.
Теорема 4:
Предел частного двух переменных равен частному пределов , если предел знаменателя не равен 0:
, где
¹0
Теорема 5:
Если выполняется u(x) ≤ v(x) ≤ w(x), иlim u(x) = b, lim w(x) = b , то lim v(x) = b
Теорема 6:
Если u(x) ≤ v(x) и lim u(x) = a;...lim v(x) = b , то a ≤ b
Теорема 7:
Если u(x) возрастает, но при этом остаётся ограниченной (числом М), то существует
lim u(x) = b , причём b ≤ M
Первый замечательный предел
~ 1
Второй замечательный предел
~ e
~ e,
e – иррациональное число » 2,7182818…» 2,72