Основные теоремы о пределах

Сравнение бесконечно малых

1). Если , где c– const, то α (x) и β (x) называются бесконечно малыми одного порядка

2). Если , где y(x) - бесконечно малая величина, то α (x) называется бесконечно

малой более высокого порядка, чем β (x)

3)Если , то α (x) и β (x) называются эквивалентными бесконечно малыми.

Таблица эквивалентностей:

При x → 0

sin x ~x 1 – cos x ~

tg x ~ x e^x–1 ~ x

arcsin x ~x (1+ x)^p – 1~ px

z(x) ⋅u(x) − б.б.

Следствие 1: C *u(x) − б.б. , где C – const

Следствие2: Произведение бесконечно большой величины на бесконечно большую есть величина бесконечно большая. u(x) ⋅ v(x)− б.б.

3). Частное от деления бесконечно большой на ограниченную величину, отличную от нуля, есть

величина бесконечно большая.

– б.б. , где z(x) – ограниченная отличная от 0.

Замечание: ⎥⎦

– неопределённость.

Теорема 1:

Предел постоянной равен самой постоянной величине. limC = C

x→ a

Теорема 2:

Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

lim (u(x)+ v(x) – w(x)) =lim u(x) + lim v(x) – lim w(x)

x→a x→a x→a x→a

Теорема 3:

Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:

lim(u(x) v(x) = (limu(x)) (limv(x))

x→a x→a x→a

Следствие: постоянный множитель выносится за знак предела.

Теорема 4:

Предел частного двух переменных равен частному пределов , если предел знаменателя не равен 0:

, где ¹0

Теорема 5:

Если выполняется u(x) ≤ v(x) ≤ w(x), иlim u(x) = b, lim w(x) = b , то lim v(x) = b

Теорема 6:

Если u(x) ≤ v(x) и lim u(x) = a;...lim v(x) = b , то a ≤ b

Теорема 7:

Если u(x) возрастает, но при этом остаётся ограниченной (числом М), то существует
lim u(x) = b , причём b ≤ M

Первый замечательный предел

~ 1

Второй замечательный предел

~ e~ e,
e – иррациональное число » 2,7182818…» 2,72