Бесконечно малые величины и их свойства

Предел функции

Предел и непрерывность функции

Опр:Постоянное число аназывается пределом переменной величины х , если для любого сколь угодно малого ε >0 существует такое значение переменной х , что все следующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x − a| < ε

Обозначается x → a , или lim x = a

Опр: хстремится к ¥, если для любого наперёд заданного сколь угодно большого числа М>0 можно указать такое х, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству

|x|> M , обозначается x→ ¥или lim x= ¥

Пусть у = f(х) определена в некоторой окрестности точки х = а, причём не обязательно в самой точке.

Опр:функция у = f(х) стремится к пределу b при x → a, если для любого сколь угодно малого
ε>0 существует δ > 0, такое, что как только |x − a|< δ выполняется |f (x)− b|< ε

у = f (х)

По ε находим δ, как только х попадает в δ-окрестность точки а, у попадает в ε-окрестность
точки b

Может случиться, что lim f (x) не существует, но существует lim f (x) = b₁ – предел слева

x→a x →a–0

lim f (x) = b₂ – предел справа

x →a+0

Опр: y = f(х) → b при х →¥ , если для любого сколь угодно малого ε >0 существует N > 0 , что как только |x|> N выполняется |f(x) − b|< ε , обозначается limf(x)= b

x→¥

Опр: f(x)→¥ при x→a(т.е. является бесконечно большой) , если для любого сколь угодно большого N>0 существует δ > 0 , что как только |x − a|< δ выполняется |f (x)| > N

Обозначается lim f (x)= ¥

x→¥

Опр: f(x) называется ограниченной в данной области изменения аргумента х, если существует число M>0, т.ч. для всех х ∈ рассматриваемой области выполняется f (x) ≤ M . В противном случае функция называется неограниченной

Теорема:

Если lim f(x)=b, где b - конечное число, то f (x) при x→a является ограниченной

x→ a

Опр:α =α (x) называется бесконечно малой при x → a , если lim α (x) = 0

x→ a

Теорема 1:

1). Если f (x) при x Î (a −δ; a +δ ) равна сумме постоянной и бесконечно малой α , то есть

f (x) = b + α где b=const ; a − бесконечно малая, то lim f (x) =b

x→ a

2). Если lim f(x)= b= const, то в окрестности точки x = a f (x) = b +a , где a - бесконечно
малая

Теорема 2:

Если a = a (x) - бесконечно малая, то – бесконечно большая

Величина, обратная бесконечно малой есть величина бесконечно большая.

Теоремы о бесконечно малых (б.м.)

1). Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая величина.

α (x) + β (x) −γ (x) =δ (x) , где α (x);β (x);γ (x);δ (x) - бесконечно малые.

2). Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

Ζ(x) ⋅α (x) =δ (x)

Следствие 1:Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

α (x) ⋅β (x) =δ (x)

Следствие 2:Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть величина

бесконечно малая.

C ⋅α (x) =δ (x) где С – const

3). Частное от деления бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая.

, где z – ограниченная, не равная нулю.