Имеется четыре типа так называемыхкатегорических высказываний.
1) Общеутвердительные Asp (Axy):
Всякое S есть P.
Аналог на языке предикатов "x ( S(x) ® P(x) )
S P S, P
S Ç P = 0 - интерпретация на множествах
2) Общеотрицательные Esp (Exy):
Не одно S не есть P.
Аналог на языке предикатов "x ( S(x) ® ¬P(x) )
S P
SÇP = 0 - интерпретация на множествах
3) Частично-утвердительные Isp (Ixy) :
Некоторые S есть P.
Аналог на языке предикатов $x ( S(x) & P(x) )
S P S P S P S P
S Ç P ¹ 0 - интерпретация на множествах
4) :Частное отрицание Osp (Oxy)
Некоторые S не есть P.
Аналог на языке предикатов $x ( S(x) & ¬P(x) )
S Ç P ¹ 0 - интерпретация на множествах
Соотношения высказываний можно представить в виде логического квадрата.
Axy противоречивые Exy
Ixy антипротиворечивые Oxy
Модус - структура умозаключения, которая определяет его истинность.
Всего таких модусов 32. Вот некоторые из них.
Axy ® Axy истинно Axy ® Ayx ложно
Axy ® Exy ложно
Axy ® Ixy истинно
Axy ® Oxy ложно
Exy ® Oxy истинно Еху ® Оух истинно
Oxy ® Oxy истинно Oxy ® Oyx ложно
Всего категорических силлогизмов - 256.
Axy × Azy ® Azx
Exy × Ayz ® Ozx
………………….
Различных видов логик уже создано очень много, начиная с древнеиндийской логики Навья-Ньяя и вышеупомянутой системы Аристотеля. Всякая логика ограничена. Невозможно создать универсальную логику, исчерпывающую все возможные потребности. Поэтому и создаются все новые логики.
Одна из наиболее популярных неклассических логик последние двадцать лет - это нечеткая (fuzzy) логика. Нечеткая математика базируется на нечетком отношении
принадлежности Î Например: Доцент Сидоров к множеству лысых, можно сказать, практически и не принадлежит!
А также на понятии лингвистической переменной. Например, лингвистическаяпеременная возраст может иметь лингвистические значения: очень молодой, молодой, средних лет, пожилой, старый,…
Рассуждения в нечеткой логике могут быть типа:
Если немного добавить соли, то будет гораздо вкуснее.
Разумеется, для машинной обработки необходимо отобразить эти нечеткие понятия на "числовые оси", что осуществляется с помощью подбираемых функций принадлежности m
В нечеткой логике не выполняются закон исключенного третьего и закон противоречия.
Но если А = 1*, то ðА может быть истинно или ложно.
Скажем, «Вася ловит рыбу» - истинно, но «Необходимо, что Вася ловит рыбу» – ложно, поскольку Вася это делает только по настроению.
Например, «Летом выпал снег» – может быть ложным высказыванием, а «Возможен случай, что летом выпадет снег» - истинным.
Но если
А = 0, то àА =
Например, «2 + 2 = 5» - ложно и «возможно, что 2 + 2 = 5» – также ложно, но
«Вася стреляет» – ложно, но «Вася может и пострелять» – истинно (особенно, когда деньги кончились, а курить охота).
Существует достаточно большое количество разновидностей модальных логик.
Некоторые возможные соотношения в модальных логиках:
¬ðP = à¬P ðPÚ¬ðP=1
¬àP = ð¬P àP&¬àP=1
¬ð¬P = àP
¬à¬P = ðP
Некоторые возможные аксиомы:
А ® А
А ® А
(А ® В) ® (А ® В)…
Немонотонные логики. Кратко суть таких логик формулируется следующим образом: добавление в систему новых аксиом может привести к изменению уже существовавших…Они хороши тем, что часто следуют принципу: Если не нравится полученный в процессе вывода результат - можно изменить исходные посылки.
Существует много весьма разноплановых немонотонных логик. Например, вывод
C(x, y) & Г(y)=z : àГ(x) = z |¾ Г(x) = z
То есть из фактов, что C(x, y) - "x,y - супруги", . Г(y)=z - "город, где проживает y. называется z". Символ « :»отделяетусловие от предложения.
и à Г(x) = z - "x живет в городе z" не противоречит существующим аксиомам, то.
в этой системе выводимо Г(x) = z, что "x живет в городе z".
Индуктивные логики. Это логики правдоподобных рассуждений "от частного к общему". Когда Шерлок Холмс по отдельным уликам восстанавливал картину преступления, то его дедуктивный метод был чистой воды индуктивным методом.
Это элементарно, Ватсон!
Поскольку правдоподобные рассуждения не гарантируют стопроцентно правильность логического заключения (у Холмса результат был близок к 100%, хотя и у него бывали ошибки), то можно говорить о большей или меньшей правдоподобности результата.
Пусть А означает "А более правдоподобна", тогда можно предложить, например, такие индуктивные правила вывода:
A ® B, B |¾ A
A ® B, C ® B |¾ A ~ C
A |¾ D
A & B |¾ D
A & C |¾ D
Эротетические логики. Так названы логики вопросов и ответов.
Правильно поставленный вопрос - это такой вопрос у которого предпосылка истинна и не противоречива.
В рамках этой логики доказана полезная для повседневной практики теорема:
S Ç P = 0 - интерпретация на множествах
S P S P S P S P
A B - "если А, то после этого В".