Система Аристотеля

Система Генцена

В ее основе лежит понятие секвенции.

Секвенции имеют вид

антецедент - A₁, A₂, ... A_{n ½¾} B₁, B₂, ... B_n - сукцедент

­

знак секвенции

Содержательно это равносильно выражению:

A₁ & A₂& ...& A_n ® B₁Ú B₂Ú ...Ú B_n

Аксиома (схема аксиом) в системе Генцена единственная и она имеет вид:

A½¾ A

Правила вывода:

(Из секвенций над чертой выводимы секвенции под чертой, а Г обозначает какое-то множество формул).

1) A, Г½¾ В 1)¢ Г½¾ A; Г½¾ А® В

Г½¾ А®B Г½¾ В

2) Г½¾ А; Г½¾ B 2)¢ Г½¾ А&В

Г½¾ А & В Г½¾ А

3) Г½¾ А 3)¢ Г, A½¾ B; Г, С½¾ B; Г½¾ A Ú В

Г½¾ A Ú B Г½¾ В

4) Г, А½¾ 4)¢ Г½¾ А; Г½¾ ¬А

Г½¾ ¬А Г½¾

5) Г, A, B½¾ C

Г, B, A½¾ C

6) A, A½¾ B 6)¢ A½¾ B, B

A½¾ B A½¾ B

7) Г½¾ B 7)¢ Г½¾ A

Г, A½¾ B Г½¾ A, B

Докажем ½¾ А ® А :

1) Из первой аксиомы, при Г = Æ и В = А:

A ½¾ A

½¾ А ® A

Теорема доказана.

Докажем ½¾ ¬A Ú A

A½¾ A

½¾ ¬A, A

½¾ ¬A Ú A, ¬A

½¾ ¬A Ú A

Древнейшей аксиоматической системой является система Аристотеля. Она не может быть полностью интерпретирована с помощью логики предикатов. Тому ряд причин и одна из существенных – то, что при интерпретации сущностей аристотелевой логики могут использоваться только непустые множества.

В связи с этим прямой перевод на язык предикатов может приводить к парадоксальным ситуациям. Например,

пусть P(x) - x выше двух метров

На множестве людей имеет место: "х Р(х) = 0, $х Р(х) = 1.

Но на множестве марсиан "х Р(х) = 1, $х Р(х) = 0.

т.е. "х Р(х) ® $х Р(х)

Рассуждения в аристотелевой логике базируются на том, что если некоторые высказывания верны, то и некоторое новое предложение обязано быть верным в силу правильности логической конструкции (силлогизма).

Пример.

Интерпретация множествами:

Смертные

Животные

Люди

То есть из «Все животные смертны» и «Все люди – животные» следует

«Все люди смертны» или

Ж ® С, Л ®Ж ½¾ Л ® С