Данное уравнение описывает гиперболическую зависимость. В данной системе строго периодические процессы невозможны. Точка О - точка бифуркации (раздвоения). Для перехода на другую ветвь гиперболы не требуется затрат энергии. Этот переход возможен при сколь угодно слабом внешнем влиянии. Это один из примеров, когда полностью детерминированное уравнение, без случайных членов, описывает случайные процессы.
Один из основателей operation research (исследования операций) Акофф утверждает, что важнейшими проблемами науки CCI века будет выяснение того, как:
1) из детерминированного порядка может получиться хаос (см. предыдущий пример);
2) из хаоса получится порядок и развитие системы. Этот вопрос рассматривается в теории самоорганизации - синергетике).
4. Колебательная нелинейная система.
x2=0, f(x1)=0 - точки равновесия.
В системе возможны периодические процессы, есть бифуркация. Могут проявляться две особенности:
- существование предельных циклов;
- существование странных аттракторов.
Внутри предельного цикла может быть область (странный аттрактор), каждая точка которой является точкой бифуркации, т.е. поведение системы абсолютно непредсказуемо. Система может попасть внутрь этой области, минуя предельный цикл, извне благодаря случайному импульсу. Время выхода из аттрактора и его направление предсказать невозможно.
Примеры странных аттракторов:
1) область максимальных ошибок управления самолётом (если самолёт идёт на малой скорости, с большим углом атаки, то попадает в область максимальных ошибок управления - реакция машины непредсказуема. В этом случае пилоты руководствуются правилом: не знаешь что делать - не делай ничего);
2) экономика в состоянии кризиса, извне её вывести из кризиса нельзя. Единственный способ выхода из кризиса - перестройка внутренней структуры системы;
3) пограничные состояния психики.
Критерий Бендиксона.
Он показывает, когда решения системы общего вида , где P и Q - нелинейные функции, не содержат аттракторов. Для этого необходимо, чтобы выражение в заданом диапазоне параметров значений x1 и x2 было знакопостоянным.
Один из примеров такого уравнения - экологическое уравнение Вольтерра
Эти уравнения определяют изменение численности видов в системе “хищник-жертва”. Пусть у нас будут только две популяции: рыси и зайцы. Интерпретация:
x1 - cреднемесячная численность зайцев;
x2 - cреднемесячная численность рысей;
a - вероятность размножения зайцев;
b - естественная смертность зайцев;
c - вероятность того, что при встрече зайца с рысью заяц будет съеден;
e - естественная смертность рысей;
d - скорость размножения зайцев, которая зависит от количества зайцев.
Решение уравнения Вольтерра имеет вид:
Эти решения проявляют определённую периодичность с некоторым относительным смещением по фазе кривых
5. Уравнение Лоренца имеет вид:
Оно описывает возникновение стохастических автоколебаний.
Примеры таких процессов: погодные явления - тайфуны, циклоны; океанические течения; нерегулярные колебания дерева под влиянием постоянной силы ветра.
Для решений уравнения характерна непредсказуемость фазовых траекторий, которые заполняют двумерную бесконечную поверхность, пересечение которых с некоторой прямой образует канторово множество точек.
Решения уравнения Лоренца содержат странные аттракторы или стохастические ловушки и образует счётные множества неустойчивых циклов. Внешние флюктуации не могут вывести систему из этого состояния.
6. Системы с запаздыванием.
а) x(t)=ax(t-t), где t - запаздывание.
Это колебательная система, точка равновесия x=0.
Уравнение даёт квазипериодическое решение вида eat(a0coswt+b0sinwt), где a0, b0 - медленноизменяющиеся функции времени.
в) x(t)=f(t-t), f - нелинейная функция. Частный случай: x(t)=x(a-bx(t-t)). Если t>>1/a, то система идёт вразнос, колебания расходящиеся. Если t=0, то она стремится к равновесию.
Возможны периодические процессы при однозначной функции f(t). Нелинейная система уравнений с запаздыванием
Данные уравнения описывают стохастическую случайную систему.
Запаздывание равносильно увеличению степеней свободы и сложности систем (экологическая система).
Линейные системы с запаздыванием могут быть эргодическими. Стабильные системы с запаздыванием должны иметь обратные связи. Если такая система молодая, то внутрисистемные процессы в ней не развиты и компенсация в них невелика. При очень большом числе системных процессов снижается эффективность.
Стационарные состояния x1=0,x2=0.
.
График решений:
, где P и Q - нелинейные функции, не содержат аттракторов. Для этого необходимо, чтобы выражение 
в заданом диапазоне параметров значений x1 и x2 было знакопостоянным.
