Поведение сложных систем в простых моделях.

Уравнение системы.

Уравнение имеет вид:

x - вектор входов системы.

Смысл уравнения: изменение состояния входа системы с течением времени определяется скоростями изменения состояния этих входов и самими этими состояниями в предыдущие моменты времени, а также производными функции, определяющей связь прошлых и текущих состояний.

Здесь предполагается t_max®0, поэтому производные заменены конечными разностями.

Данное уравнение учитывает нелинейность системы, многосвязность и память системы. Память системы учитывается через t.

Смысл уравнения в том, что входы сами зависят от своих состояний.

При решении задач для различных систем достаточно квадратичного приближения данного уравнения при t=const. Это возможно, когда нелинейность не слишком выражена. Например, для экономических систем это предположение допустимо, для систем в состоянии кризиса (неравновесных) – нет.

Квадратичное приближение:

Интерпретация:

1-й член определяет влияние состояния элементов в текущий момент времени

2-й - влияние состояния элементов предыдущего момента времени t-t.

3-й - квадратичный эффект парного взаимодействия состояний разных элементов для текущего момента времени

4-й - квадратичный эффект парного взаимодействия для предыдущего момента времени t-t.

Эффекты парного взаимодействия определяют влияние, если одновременно действуют два фактора.

Простые модели описываются дифференциальными уравнениями и их системами. Простейшее из них имеет вид:

1. ; Оно описывает неустойчивую систему с непериодическим процессом.

a>0, x®¥

a<0, x®0

2. , где f(x) - нелинейная функция. t=0.

Если f(x) - однозначная функция, поведение системы апериодическое.

Пример: известное экологическое уравнение, которое описывает популяцию, численность которой стабилизируется x¢=ax+bx².

Решение уравнения будет иметь вид: a>>b

Эта зависимость изображена на рисунке:

		t

Такого рода зависимости широко распространены в технологических, экономических и естественных системах. Это связано с тем, что логистическая зависимость проявляется в конкурентных системах - в системах с ограниченными ресурсами, в которых каждый элемент может улучшить свои показатели функционирования, только ухудшая показатели других элементов.

Пример: если появляется новый товар на рынке, то изменение его объёма продаж во времени подчиняется логистической зависимости. В зависимости от значений a и b могут проявляться как прямые так и обратные логистические зависимости. Обратная логистическая зависимость является зеркальным отражением прямой.

После участка насыщения логистическая кривая может перейти либо на следующую ветвь другой прямой или обратной логистической зависимости.

· - обозначена точка бифуркации (раздвоения) логистических зависимостей.

Если функция f(x) будет неоднозначной хотя бы на некотором интервале, то данное уравнение допускает периодические решения.

Пример: - уравнение амортизатора.

Решение: x=C*cos(wt+j).