Математическое описание системы.

Понятие уровня организации системы.

Реакция системы на внешнее воздействие носит пороговый характер

("S,$D*)[D<D*,("_i)(Q_i(t<0)=Q_i(t>0)), D>D*,("_i)(Q_i(t<0)¹Q_i(t>0))], где

S – состояние системы,

D* - пороговое воздействие,

Q_i,Q_j – параметры i-го, j-го состояний.

Пример: при передаче информации двоичным кодом уровень сигнала, а также пороговый уровень восприятия приёмника выбирается более высоким, чем уровень шума. Приёмное устройство не реагирует на шум, и это даёт возможность его фильтровать.

Принцип неопределённости.

Предсказать поведение системы можно с ограниченной эффективностью, т.к. не вся информация доступна. Попытка получить доступ к этой информации может разорвать внутренние обратные связи системы и разрушить её.

Принцип целенаправленности.

Большие системы развиваются в сторону повышения сложности, независимости от внешней среды и уменьшения собственной энтропии.

Пример: мозг как большая система настолько совершенен, что если бы любая техническая система имела такую сложную структуру, как мозг, то время её устойчивого существования не превышало бы 3 мин., а период надёжности функционирования – 0.1 с.

Интересно, что частота a-ритмов мозга 0.1с , период сосредоточивания на одной мысли для среднего человека - около 3 мин., для способного человека – 15мин.-5ч, для таланта – до нескольких лет, гений всю жизнь может решать одну проблему.

Постулат выбора.

Переход системы из определённого состояния всегда возможен в несколько альтернативных состояний.

Уровень организации - это количество свободной энергии в системе, используемой при выборе.

Примеры: для предприятия – это прибыль на одного работающего, для экономики – национальный доход на душу населения.

Другим показателем уровня организации может служить произведение свободной энергии на количество оперативной информации, используемой для целенаправленного поведения. Этот показатель учитывает развитие системы.

Обозначения: N – количество элементов системы;

x={x_i},y={y_i} – состояния входов и выходов системы, причём y=T(x), где Т – оператор.

Функционал – это математический объект, выражающий соответствие между множествами чисел и функций, то есть функционал определяет связь между множествами F и C. F – множество, состоящее из функций определённого класса, C – множество чисел.

Примеры функционалов: определённый интеграл - функционал, - тоже функционал.

Оператор – это математический объект, определяющий связь между функциями. O:F₁®F₂ (F1 и F2 – множества функций).

Примеры: производная ;

Градиент:

- классу скалярных величин ставится в соответствие класс векторных функций.

Можно записать: y(t)=f(t,x(t-t(t))), где t={t_i} - это векторная функция запаздывания (запаздывание – это задержка реакции системы).

Если функции преобразования и задержки постоянные, то имеем: f(x(t-t));

y(t)=(y(t)-y(t-t))/t_max

x(t)=(x(t)-x(t-t))/t_max

t_max – максимальное время задержки.

Множество элементов связанных только между собой, называется внутренней частью системы, а элементы, связанные с внешней средой, составляют поверхность системы. Принято упрощение: процессы на поверхности будут представляться непрерывными функциями. Для большинства технологических и экономических систем это справедливо.

Связь элементов выражается матрицей связи ||S_ij|| размерностью n´m, n – количество входов, m – количество выходов. Если S_ij=0 – связи i-ого и j-ого элементов нет, S_ij=1 – связь есть.

		i\j

На этом рисунке изображено представление связи элементов системы.

Замкнутая цепь связи (на рисунке выделена пунктиром) выражена системой равенств вида:

Каждый элемент должен быть связан с другими элементами, но входы и выходы одного элемента не связаны непосредственно (т.е. не учитываем обратные связи отдельных элементов). На матрице связей обратные связи в системе будут представлены фрагментами вида

Очевидно, что обратные связи будут описаны элементами, лежащими ниже главной диагонали.