Отображения и функции

Пусть X и Y— некоторые множества и Г, при­чем Пр₁Г=Х. Тройка множеств (X, Y, Г) определяет не­которое соответствие, обладающее, однако, тем свойством, что его область определения Пр₁Г совпадает с областью отправления, т. е. X, и, следовательно, это соответствие определено всюду на X. Другими словами, для каждого хХ существует yY, так что (х, у)Г. Такое всюду оп­ределенное соответствие называется отображением X в Y и записывается как

Г:Х. (1.13)

Под словом «отображение» часто понимают однознач­ное отображение. Однако мы не будем придерживаться этого правила, а будем считать, что каждому элементу хХ отображение Г ставит в соответствие некоторое под­множество

Гx, (1.14)

называемое образом элемента х. Закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, определяется множеством Г.

Пример 1.6. Если в примере 1.5 исключить из рассмотрения шофера с, то получим отображение Г:Х, в котором Х ={a,b} – множество шоферов; Y={, , } – множество машин; , Г={(а, ), (а, ), (b, )}— распределение шоферов по автомашинам Геометрическое представление этого отобра­жения дано на рис. 2.11.

Рис.1.3. Геометрическое представление отображения

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых свойств отображения. Пусть АХ. Для любого хобразом х будет множество Гx=Y. Совокупность всех элементов Y, являющихся образами Гх для всех х, назовем обра­зом множества А и будем обозначать ГА. Согласно этому определению

ГА=Гх.

Если А₁ и А₂ - подмножества X,то

Г(А₁А₂)= ГА₁ГА₂). (1.15)

Однако соотношение

Г(А₁А₂)= ГА₁ГА₂). (1.16)

справедливо только в том случае, если отображение Г:ХY является однозначным. В общем же случае

Г(А₁А₂)ГА₁ГА₂). (1.17)

Полученные соотношения легко обобщаются и на боль­шее число подмножеств А_i . Так, если А₁,..., А_n - подмно­жества Х,то

ГА_i=А_i; ГА_i=А_i.

Поскольку отображение является частным случаем со­ответствия, для отображения имеют место введенные при рассмотрении соответствий понятия обратного отображения и композиции отображений.