Композиция соответствий

Обратное соответствие

Для каждого соответствия q=(X, У, Q), Q XY существует обратное соответствие, которое получается, если данное соответствие рассматривать в обратном направле­нии, т. е. определять элементы хХ, с которыми сопостав­ляются элементы yY. Соответствие, обратное соответ­ствию q, будем обозначать

, (1.8)

где .

Пример 1.4. Обратным соответствием для примера рис.1.2, а) будет за­крепление элементов {, , }, {, b, } соответствиями{(, а),(, b),(, а)}, что геометрически показано на рис. 1.2, б).

Из приведенного примера видно, что геометрическое представление обратного соответствия получается путем изменения направления стрелок в геометрическом пред­ставлении прямого соответствия. Отсюда следует, что об­ратным соответствием обратного соответствия будет пря­мое соответствие

q. (1.9)

Композицией соответствий называют последовательное применение двух соответствий. Композиция соответствий есть операция с тремя мно­жествами X, Y и Z, на которых определены два соответ­ствия:

(1.10)

причем область значений первого соответствия совпадает с областью определения второго соответствия:

Пр₂=Пр₁Р. (1.11)

Первое соответствие определяет для любого xПр₁Qнекоторый, возможно и не один, элемент . Согласно определению операции композиции соответствий теперь нужно для , найти , воспользовавшись вторым соответствием. Таким образом, композиция соответ­ствий сопоставляет с каждым элементом х из области оп­ределения первого соответствия Пр₁Q один или несколько элементов z из области значений второго соответствия Пр₂Р.

Композицию соответствии q и р будем обозначать а(р), а график композиции соответствий - через QOP. При этом композиция соответствий (2.50) запишется в виде

q(p) = (X, Z, QOP), QOP XZ. (1.12)

Пример 1.5. Если q - соответствие, определяющее распределение шоферов по автомашинам, р - соответствие, определяющее распреде­ление автомашин по маршрутам, то соответствие q(p) есть соответ­ствие, определяющее распределение шоферов по маршрутам.

Естественно, что операцию композиции можно распро­странить и на большее, чем два, число соответствий.