Прямое произведение множеств

Прямым произведением множеств X и Y называют множество, обозначаемое XY и состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента ко­торых принадлежит множеству X, а вторая — множест­ву Y. Таким образом, элементами прямого произведения являются двухэлементные кортежи вида (х, у). Формаль­ное определение

XY ={(x,y) | xX, yY}. (1.4)

Пример 1.1. Пусть X и Y — отрезки вещественной оси. Прямое произведение XY изобразится заштрихованным прямоугольником (рис. 1.1). Из этого рисунка следует, что свойства прямого произведения отличаются от свойств обычного произведения в арифметиче­ском смысле. В частности, прямое произведение изменяется при изме­нении порядка сомножителей, т. е.

XYY X. (1.5)

Операция прямого произведения легко распространя­ется и на большее число множеств. Прямым произведени­ем множеств X₁, X₂, ..., X_rназывают множество, обозначае­мое X₁X₂ ...X_r и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины r, первая компонента которых принадле­жит X₁,вторая -X₂ и т. д.

Рис. 1.1. Геометрическая иллюстрация прямого

произведения множеств

Частным случаем операции прямого произведения яв­ляется понятие степеней множества. Пусть М — произ­вольное множество. Назовем s-й степенью множества М и обозначим через M^s прямое произведение s одинаковых множеств, равных М:

.

Это определение пригодно для s=2, 3... Его можно расширить на любое целое неотрицательное s, если специальными определениями положить

М¹=М, М⁰={}. (1.6)

Если R - множество вещественных чисел, то R²= RRпредставляет собой вещественную плоскость, a R³= RRR - трехмерное вещественное пространство.