Упорядоченное множество

Элементы теории множеств

Наряду с понятием множества как совокупности эле­ментов важным понятием является понятие упорядочен­ного множества или кортежа. Кортежом называют после­довательность элементов, т. е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Сами элементы при этом называют компонентами корте­жа (первая компонента, вторая компонента и т. д.). Примеры кортежей: множество людей, стоящих в очереди; множество слов в фразе; числа, выражающие долготу и широту точки на местности и т. п. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определен­ным и не может быть произвольно изменено.

В технических задачах эта определенность часто явля­ется просто предметом договоренности. Так, только дого­воренностью можно объяснить, почему долготу ставят на первое место, а широту на второе. Состояние компьютерной сети часто описывают множеством параметров, принимающих числовые значения. При этом состояние системы — просто некоторое множество чисел. Чтобы не оговаривать каждый раз, какое число что означает, уста­навливают заранее, какой параметр считать первым, ка­кой вторым и т. д., т. е. совокупность параметров пред­ставляют в виде упорядоченного множества. Так, если обозначить через С скорость передачи информации в сети, а через F— полосу пропускания канала связи, то кортеж х=(С, F ) будет описывать состояние сети.

Число элементов кортежа называют его длиной. Для обозначения кортежа используем круглые скобки. Так, множество

а=(а₁, а₂,..., а_п) (1.1)

является кортежем длины п с элементами а₁, ..., а_п. Кор­тежи длиной 2 называют парами или упорядоченными па­рами, кортежи длиной 3 — тройками, 4 — четверками и т. д. В общем случае кортежи длиной п называют п -ками. Частным случаем кортежа является кортеж (а) дли­ной 1 и пустой кортеж длиной 0, обозначаемый ( ) или . В отличие от обычного множества в кортеже могут быть и одинаковые элементы: два одинаковых слова в фразе, одинаковые числовые значения долготы и широ­ты точки на местности и т. п.

В дальнейшем будем рассматривать упорядоченные множества, элементами которых являются вещественные числа. Такие упорядоченные множества называют точка­ми пространства или векторами. Так, кортеж (а₁, а₂) мо­жет рассматриваться как точка на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Компоненты а₁ и а₂ будут проекциями векто­ра на оси 1 и 2

Пр₁(а₁, а₂)= а₁ ;Пр₂(а₁, а₂)=а₂.

Кортеж (а₁, а₂, а₃) может рассматриваться как точка в трехмерном пространстве или как трехмерный вектор, проведенный из начала координат в эту точку (рис. 1.1).

Проекции вектора на оси координат

Пр_i( а₁, а₂, а₃)=а_i, i=1, 2, 3.

Однако в данном случае можно говорить о проекции кортежа сразу на две оси, например 1 и 2, т. е. на координатную плоскость. Нетрудно видеть, что эта проекция представляет собой двухэлементный кортеж

Пр₁₂(а₁, а₂, а₃) = (а₁, а₂).

Обобщая эти понятия, будем рассматривать упорядо­ченное n-элементное множество вещественных чисел (а₁, ..., а_п) как точку в воображаемом n-мерном пространстве, называемом иногда гиперпространством, или п-мерным вектором. При этом компоненты n -элементного кортежа а будем рассматривать как проекции этого кортежа на со­ответствующие оси

Пр_iа= а_i, i=. (1.2)

Используемая здесь и далее запись i=означает пе­речисление i=1,..., n.

Если i, j, ..., l — номера осей, причем 1i<j< ... ln, то проекция кортежа а на оси i, j, ..., l будет

Пр _{i, j, ..., l}a=( а₁, ..., а_l ). (1.3)