Метод Ньютона.

Если функция достаточно гладкая и имеет одну или более непрерывных производных, то можно применить и другие методы, позволяющие сократить число вычисляемых функций по сравнению с методом деления пополам.

В точке (x;f(x))строят касательную. (x;0)-точка пересечения. Далее снова строят касательную.

y-y=k*(x-x) , где k=f(x)

-f(x)=f’(x)(x-x)

x=x-f(x)/f’(x)

x=x-f(x)/f’(x)

. . .

x=x-f(x)/f’(x)

Процесс продолжать до тех пор, пока |x-x|<e.

Следовательно: y=x-f(x)/f’(x).

Пример:Найти корни уравнения f(x)=sin(x)-x+0.15=0 на отрезке [0.5;1]

e=10.

f’(x)=cos(x)-1

y=x-(sin(x)-x+0.15)/(cos(x)-1))

Выберем начальное приближение. Метод Ньютона обладает хорошей сходимостью, но оснавная трудность в методе Ньютона заключается в выборе начального приближения (x), которое ведет к сходящемуся и итерационному процессу. Начальное приближение целесообразно выбирать так, чтобы:

f(x)*f’’(x)>0

f’’(x)=-sin(x)<0 (на заданном интервале).

Значит необходимо чтобы: f(x)=sin(x)-x*0.15<0.

Чтобы избежать процесса зацикливания программы, необходимо поставить ограничение на число итераций (повторов).

#include <stdio.h>

#include <math.h>

void main( )

{ int i, k=50; // k-ограничитель итераций.

foat x, y, z, eps;

printf (“\n Начальное приближение:”);

scanf (“%f”,&x);

printf (“\n Точность:”);

scanf (“%f”,&eps);

printf (“\n x=%f и eps=%f”, x, eps);

i=0; // i-счетчик итераций.

do

{ y=x-(sin(x)-x*0.15)/(cos(x)-1);

i++;

if (i>k) break;

z=x; // Сохраним предыдущее приближение.

x=y; // Новое приближение.

}

while (fabs(y-z)>eps);

if (i>=k)

printf (“\n Число итераций больше допустимого”);

else

printf (“\n Корень равен=%f”,x);

}