Метод половинного деления

A c c b

Метод хорд.

Метод деления пополам можно улучшить, если использовать для следующего вычисления не середину отрезка, а то значение x, в котором дает нуль линейная интерполяция между двумя известными значениями функции f(x).

Геометрический способ интерполяции эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точку А(а,f(a)) и через точку B(b,f(b)).

Уравнение хорды: , где точка пересечения с осью ОX.

x^*

f(a) f(c)

Найдем точку пересечения хорды с осью ОХ:

( х=с; y=0 ) координаты этой точки

c=a-(*)

Алгоритм метода хорд состоит из следующих шагов.

1) Вычислитьf(a) и f(b).

2) Вычислить спо формуле с (*).

Вычислить f(c)

3) Как только c-a<e или b-c<e нужно закончить вычисление.

Корень будет равен x=c.

4) Как только f(c)*f(a)>0,то a=c иf(a)=f(c).

Иначе b=c и f(b)=f(c).

5) Дальше снова переходим к пункту номер 2.

Пример: Найти корни уравнения 2*x-=0 на интервале [0.2;1.5] e=.

#include <stdio.h>

#include <math.h>

void main( )

{ float a, b, eps;

float c, fa, fc;

printf (“\n Введите интервал [a,b] и точность eps \n”);

printf (“\n a=”); scanf (“%f”,&a);

printf (“\n b=”); scanf (“%f”,&b);

printf (“\n eps=”); scanf (“%f”,&eps);

printf (“\n Введено a=%f \t b=%f \t eps=%f”, a, b, eps);

fa=cos(a);

if (fa!=0)

{ do

{ fa=2*a-exp(-0.1*a);

fb=2*b-exp(-0.1*b);

c=a-fa/(fb-fc)*(b-a);

fc=2*c-exp(-0.1*c);

if((c-a)<eps || (b-c)<eps )

{ printf (“\n Корень уравнения =%f”,c);

break;

}

else

if (fa*fc>0)

{ a=c;

fa=fc;

}

else

{ b=c;

fb=fc;

}

} while (1);

}

}

x^*

f(a) f(c)

Метод хорд, как и метод деления пополам абсолютно надежен. В большинстве случаев он имеет более быструю сходимость, чем метод деления пополам. Однако основное достоинство метода деления пополам состоит в том, что скорость сходимости не зависит от вида функции f(x) и заранее известно, что будет в каждом конкретном случае, что нельзя сказать о методе хорд .