Метод половинного деления

Приближённые методы решения уравнений

Для алгебраических полиномов или трансцендентных уравнений (степень которых > 4) не существует формул, которые выражали бы величины корней через коэффициенты уравнений.

Сравнительно редко удается найти точное значение корней трансцендентых уравнений, поэтому важные значения приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.

Пусть дано уравнение: f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале

Всякое значение x, обращающее функцию в 0 [f(x)=0] называется корнем уравнения или нулем функции. Сам процесс вычисления корней состоит их 2-х операций:

1) Определение корней, т.е. установление возможнотесных промежутков [a;b], в которых содержится один и только один корень уравнения f(x)=0.

2) Уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Существуют разные методы уточнения корней уравнения:

Наиболее надежным алгоритмом нахождения корней уравнения f(x)=0,

особенно когда о поведении функции f(x) мало, что известно, является метод половинного деления.

Пусть f(x)=0, известен интервал [a;b], на которых функция меняет знак. Следовательно, между a и b существует точка x, в которой функция обращается в нуль.

При заданной абсолютной точности e алгоритм метода деления пополам состоит из следующих шагов:

1) Вычислить значение функции в точке a, т.е. f(a)=?

2) Положить (вычислить) с=(a+b)/2, вычислить f(c)=?

Если f(a)*f(c)>0, то функции одного знака, следовательно, передвигаем границу а, т.е. а=с.

3) Иначе функции имеют разные знаки следовательно передвигаем границу b,т.е. b=c.

4) Если (b-a)>e, то перейти к шагу 2)

Иначе, закончить вычисление.

Любой из концов отрезка или их полусумма может быть использован в качестве корня уравнения f(x)=0. Алгоритм деления пополам довольно медлителен, но абсолютно застрахован от неудач.

Пример: Найти корни уравнения cos(x)=0 на интервале [0,π] c точностью

ε=10

#include <stdio.h>

#include <math.h>

void main( )

{ float a, b, eps;

float c, fa, fc;

printf (“\n Введите интервал [a,b] и точность eps \n”);

printf (“\n a=”); scanf (“%f”,&a);

printf (“\n b=”); scanf (“%f”,&b);

printf (“\n eps=”); scanf (“%f”,&eps);

printf (“\n Введено a=%f \t b=%f \t eps=%f”, a, b, eps);

fa=cos(a);

if (fa!=0)

{ do

{ c=(a+b)/2;

fc=cos(c);

if (fc!=0) break;

if (fa*fc>0)

{ a=c;

fa=fc;

}

else b=c;

}

while(b-a>eps);

printf (“\n Корень уравнения =%f”,c);

}

else

printf (“\n Корень уравнения =%f “, a);

}