Основные правила дифференцирования
Пусть функция 
и 
имеют производные в любой точке их области определения 
.
1. 
; (5.4)
2. 
; (5.5)
3. 
, (5.6)
где С = const;
4. 
. (5.7)
5. Производная сложной функции.
Пусть задана сложная функция: 
, где 
, т.е.
. (5.8)
Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.
. (5.9)
6. Производная обратной функции.
Пусть функция 
имеет однозначную обратную функцию 
, непрерывную при 
, тогда при 
существует производная обратной функции
или 
. (5.10)
Пример 1. 
.
Решение. Применим формулу (5.4);
.
Пример 2. 
.
Решение. Применим формулу (5.5);
.
Пример 3. 
.
Решение. Данная функция является сложной. Если ввести промежуточный аргумент для функций 
, где 
и 
, где 
, то производная с учетом формул (5.5) и (5.9) примет вид
Таблица 5
| Простая функция
| Сложная функция
|
|
|
|
1. 
| 
|
3. 
| 
|
4. 
| 
|
5. 
| 
|
6. 
| 
|
7. 
| 
|
8. 
| 
|
9. 
| 
|
10. 
| 
|
11. 
| 
|
12. 
| 
|
13. 
| 
|
14. 
| 
|
15. 
| 
|
16. 
| 
|
Пример 4. 
.
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом 
, т.е. 
;
Пример 5. 
.
Решение. Данная функция является сложной. Представим 
с промежуточным аргументом 
, который сам является сложной функцией с промежуточным аргументом 
, т.е. 
. Тогда 
. Действительно,
Пример 6. 
.
Решение:
Пример 7. 
.
Решение:
