Правило Лопиталя

Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти производную функции, представляющей собой произведение нескольких сомножителей, или дробь, числитель и знаменатель которой содержат по несколько сомножителей, то представляется выгодным предварительно обе части данной функции прологарифмировать по основанию, а затем уже приступить к дифференцированию. Напомним основные правила логарифмирования:

1. . 2. .

3. . 4. , где .

О п р е д е л е н и е. Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции

.

Пример 1. .

Решение. Прологарифмируем функцию

;

;

. Найдем :

.

Пример 2. .

Решение. Прологарифмируем функцию

;

;

;

.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида и используется теорема, известная как правило Лопиталя.

Т е о р е м а. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.

. (6.5)

П р и м е ч а н и я:

1. Эта теорема справедлива при .

2. Правило Лопиталя можно применять повторно.

3. Применяя правило Лопиталя, надо дифференцировать не дробь, а отдельно числитель и знаменатель.

4. На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать эти правила с любыми другими приемами вычисления пределов.

Примеры:

1. .

Решение. Применим правило Лопиталя, заменив функции числителя и знаменателя их производными:

.

2. .

3. .

Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя дважды:

.

4.

Раскрытие неопределенности

Эта неопределенность возникает при вычислении , если , а . Преобразуем или , а затем применим правило Лопиталя.

5. .

Применим правило Лопиталя:

.

6.

Раскрытие неопределенности

Для раскрытия этой неопределенности часто достаточно привести разность функций к общему знаменателю, тогда неопределенность перейдет в неопределенность.

7. .

Применим правило Лопиталя дважды:

8.

Раскрытие неопределенностей

Эти неопределенности могут возникнуть при вычислении предела степенно-показательной функции , т.е. .

Если , то имеем неопределенность вида .

Если , то имеем неопределенность вида .

Если , то имеем неопределенность вида .

Для раскрытия этих неопределенностей применим метод логарифмирования и найдем предел логарифма функции у. Если этот предел существует и равен конечному числу А, т.е.

,

то

. (6.6)

9. .

Прологарифмируем функцию :

и найдем

Тогда .

10. .

Прологарифмируем функцию :

.

Найдем . Применим дважды правило Лопиталя:

.

Следовательно, .