Пусть дана функция 
(рис. 76), 
- фиксированная точка. Проведем в точке 
касательную 
к графику функции , которая составляет с осью ОХ угол a.
Рис. 76
| Проведем секущую  . Найдем отношение  . При стремлении  точка  , секущая будет стремиться занять положение касательной , тогда  :
 .
|
В ы в о д: значение производной, вычисленной в данной точке (, 
), есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в данной точке :
.
Уравнение касательной к в точке 
. (5.3)
Пример 2. Найти уравнение касательной к кривой, заданной уравнением 
, в точке 
.
Решение. Найдем 
, тогда
.
Уравнение касательной примет вид
.
Ответ: 
.
П р и м е ч а н и е. 1. Дифференцируемость функции в точке с геометрической точки зрения означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.
2. Если функция недифференцируема в точке, то это означает, что касательная к графику функции в точке проходит вертикально 
. В данной точке к графику функции можно провести больше, чем одну касательную (рис. 77).
| 
|
| Рис. 77
|
3. Физический смысл производной функции в точке есть скорость изменения функции в данной точке.
