Понятие производной

Пусть дана функция , определенная на множестве значений аргумента, содержащего некоторую точку . Дадим значению аргумента приращение , получим точку (рис. 75).

Рис. 75

Значение функции в точке –. Значение функции в точке -. Функция изменится на , которое составит приращение функции . Приращение функции есть разность между значениями функции в конечной и начальной точках.

Разделим приращение функции на приращение аргумента и получим

.

Это отношение приращений имеет смысл средней скорости изменения функции на промежутке . Чтобы получить мгновенную скорость изменения функции в точке , необходимо устремить длину интервала к нулю и перейти к пределу

. (5.1)

Этот предел и называется производной функции в точке и обозначается

.

О п р е д е л е н и е. Производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении этого приращения к нулю:

. (5.2)

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Решение:

Ответ: .

Пользуясь определением, можно найти производную любой функции. Производные от основных функций приведены в табл. 5.

В ы в о д ы:

1. Дифференцированием называется операция нахождения производной функции.

2. Если функция имеет производную в точке , то говорят, что функция дифференцируема в этой точке.

3. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала , то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.

4. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Но из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость в точке, т.е. существование производной в точке.