ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Классификация точек разрыва

О п р е д е л е н и е 1. Точкой разрыва первого рода функции называется такая точка , в которой функция имеет левый и правый пределы, неравные между собой (рис. 69).

Рис. 69

(4.32)

О п р е д е л е н и е 2. Точка (рис. 70) называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности:

и . (4.33)

Рис. 70

Рис. 71

Рис. 72

О п р е д е л е н и е 3. Точка (рис. 71) называется точкой устранимого разрыва , если функция в точке неопределена, но односторонние пределы существуют и равны между собой:

, но . (4.34)

Такой разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке разрыва значением ее предела А:

Пример. Исследовать функцию на непрерывность, выявить точки разрыва и определить их типы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1) . Данная функция определена на всей числовой оси за исключением точки . , т.е. является точкой разрыва. Определим тип разрыва:

,

,

т.е. , но . Таким образом, имеет место точка устранимого разрыва. Чтобы устранить разрыв, положим значение функции в точке равным значению односторонних пределов:

- функция является непрерывной.

2) . Область определения , - точка разрыва. Исследуем на тип разрыва:

, . - точка разрыва 2-го рода (рис. 73). Найдем .

Рис. 73

3) . Область определения , - точка разрыва. Исследуем на тип разрыва:

, ; - точка разрыва 2-го типа (рис. 74). Найдем .

Рис. 74