Непрерывность функции

Пример 4.

Пример 2.

Пример 1.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на ():

;

; .

П р а в и л о 2. При вычислении пределов дробно-рациональной функции при

(4.24)

возможны следующие случаи:

1) если , то ; (4.25)

2) если , то ; (4.26)

3) если , то . (4.27)

Пример 3..

Решение. Вынесем из числителя и знаменателя х в наибольшей степени, т.е. перейдем от бесконечно больших величин к бесконечно малым, воспользовавшись формулами связи бесконечно малых и бесконечно больших величин:

, но

, поэтому

.

Пример 5.

Пример 6.

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке существует и равен значению функции в этой точке:

. (4.28)

Непрерывность функции в точке означает одновременно выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена в точке ;

2) для функции должен существовать предел в точке ;

3) предел функции в точке должен совпадать со значением функции в этой точке.

Пример. Функция определена в каждой точке . Для любой точки . Пусть и , т.е. функция непрерывна в каждой точке числовой оси.

О п р е д е л е н и е 2. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она называется непрерывной на этом интервале . До сих пор мы рассматривали предел функции в точке, полагая, что он не зависит от того, с какой стороны мы подходим к точке . Существует, однако, много пределов, в которых это является существенным.

О п е р е д е л е н и е 3. Пусть х стремится к , оставаясь меньше , т.е. слева. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется пределом слева:

. (4.29)

О п р е д е л е н и е 4. Пусть х стремится к , оставаясь больше , т.е. справа. Если при этом значение функции стремится к пределу, то он называется пределом справа:

. (4.30)

О п р е д е л е н и е 5. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) она определена в этой точке, т.е. существует значение функции ;

2) существуют односторонние пределы:

и ;

3) односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в точке :

. (4.31)

О п р е д е л е н и е 6. Если в какой-либо точке функция не является непрерывной, то точка называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.