Эквивалентные бесконечно малые величины
Пусть даны две бесконечно малые величины 
и 
при 
,
и 
.
Чтобы сравнить две бесконечно малые величины, нужно найти предел их отношения.
О п р е д е л е н и е. Бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице:
.
Обозначается 
.
Пример 1. 
.
Действительно, 
, где 
, 
, 
, т. е. при 
.
Т е о р е м а. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.
Данная теорема используется при раскрытии неопределенности вида 
. Эквивалентные бесконечно малые величины приведены в табл. 4, где 
.
Таблица 4
| 1.
| 
| 
|
| 2.
| 
| 
|
| 3.
| 
| 
|
| 4.
| 
| 
|
| 5.
| 
| 
|
| 6.
| 
| 
|
| 7.
| 
| 
|
| 8.
| 
| 
|
| 9.
| 
| 
|
| 10.
| 
| 
|
Пример 2. 
,
так как 
.
Пример 3.
,
так как 
.
Пример 4. 
,
так как 
.
4.9. Раскрытие неопределенностей 
и 
П р а в и л о 1. Если при вычислении предела, представляющего собой разность двух функций, получим неопределенность , то чтобы избавиться от неопределенности, надо, или привести функции к общему знаменателю, или, при наличии иррациональности, перенести ее из числителя в знаменатель.
