Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины

Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.

1) ;

2) ;

3) .

П р и м е ч а н и е.При вычислении пределов возможны следующие комбинации бесконечно малых и бесконечно больших величин, которые называются неопределенностями:

.

Раскрыть неопределенность - это значит ответить на вопрос: чему равен данный предел?

4.7. Вычисление пределов, когда предел числителя и
предел знаменателя равны нулю

Если при нахождении предела и являются бесконечно малыми величинами при , т.е. и , то говорят, что имеет место неопределенность вида (отношение не имеет смысла). В этом случае требуются дальнейшие преобразования функций.

П р а в и л о 1. Пусть требуется вычислить предел дробно-рациональной функции

, (4.23)

когда при числитель и знаменатель дроби имеет пределы, равные нулю. В этом случае надо числитель и знаменатель дроби разделить на () и перейти к пределу.

Пример 1..

Пример 2..

Решение. Разделим числитель и знаменатель на ():

;

; .

Пример 3..

Решение. Разделим числитель и знаменатель на ().

.

П р а в и л о 2. Чтобы найти предел дроби, содержащий иррациональные выражения в случае, когда пределы числителя и знаменателя равны нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот. После этого следует сделать преобразования и перейти к пределу, используя известные формулы:

, .

Пример 4. .

Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное иррациональное выражение с учетом

(а - b) × ( а + b) = a² - b² ;

;

.

Пример 5. .

Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы

(а - b) × ( а² + a×b + b²) = a³ - b³ ;

;

Пример 6. .

Решение. Перенесем иррациональность числителя в знаменатель, а иррациональность знаменателя в числитель:

(а - b) × ( а² + a×b + b²) = a³ - b³ ;

;

(а - b) × ( а + b) = a² - b² ;

;

.